Calcolare un integrale con un determinato errore

[pocholoco92]

salve ragazzi
ho questo esercizio

calcolare $ int_(0)^(1) sin(x^2)dx $ con un errore inferiore a $ 1/1000 $

allora

$ sin(x^2)=sum_(k = 0)^(oo)(x^(4k+1))/((2k+1)!)(-1)^k $

quindi facendo i vari passaggi e calcoli arrivo a

$ sum_(k = 0)^(oo)((-1)^k)/((2k+1)!) * 1/(4k+3) $

ma a questo punto cosa devo fare per porre l'errore inferiore a quello richiesto?
grazie

[gugo82]

Basta ricordare che dal teorema di Leibniz per le serie a segni alterni \(\sum (-1)^n\ a_n\) segue la stima:
\[
\left| s-s_N\right|\leq a_N
\]
quindi l'errore che si commette approssimando la somma \(s=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\ a_n\) con la somma parziale \(s_N=\sum_{n=0}^N (-1)^n a_n\) non eccede \(a_N\) (che è l'ultimo addendo di \(s_N\)).
Quindi affinché sia \(|s-s_N|<\varepsilon\) (con \(\varepsilon >0\) soglia d'errore fissata), basta determinare \(N\) in modo che \(a_N<\varepsilon\).
Nel tuo caso, dunque, ti basterà determinare \(N\) tanto grande che:
\[
\frac{1}{(2N+1)!\ (4N+3)}<\frac{1}{1000}\; .
\]
Se non erro, già \(N=2\) dovrebbe bastare.

[pocholoco92]

grazie mille adesso è tutto chiaro!
e cmq si con $ N=2$ si ha gia $1/1320<1/1000$