Calcolare l'ordine di infinitesimo di una funzione
Un esercizio mi dice di calcolare l'ordine di infinitesimo di
$ f(x) = sin (x) - tan (x) $ con $ x_0 = 0 $
Io ho fatto così:
l'infinitesimo campione è $ x - x_0 $ quindi per $x_0 = 0$ :
$lim_(x_0->0)(sin(x)-tan(x))/x $
ora ho diviso i 2 limiti e ottengo:
$lim_(x_0->0)(sin(x)/x) - lim_(x_0->0)(tan(x)/x) $
ora per il limite notevole
$lim_(x_0->0)(sin(x)/x) = 1 $
e potendo "cambiare" (credo) $tan(x)$ con $sin(x)$ per $x rarr 0 $
il limite finale dovrebbe venire
$ 1 - 1 = 0 $
ma io so che l'ordine di un infinitesimo dovrebbe venire $!=0$
Dove sbaglio?
$ f(x) = sin (x) - tan (x) $ con $ x_0 = 0 $
Io ho fatto così:
l'infinitesimo campione è $ x - x_0 $ quindi per $x_0 = 0$ :
$lim_(x_0->0)(sin(x)-tan(x))/x $
ora ho diviso i 2 limiti e ottengo:
$lim_(x_0->0)(sin(x)/x) - lim_(x_0->0)(tan(x)/x) $
ora per il limite notevole
$lim_(x_0->0)(sin(x)/x) = 1 $
e potendo "cambiare" (credo) $tan(x)$ con $sin(x)$ per $x rarr 0 $
il limite finale dovrebbe venire
$ 1 - 1 = 0 $
ma io so che l'ordine di un infinitesimo dovrebbe venire $!=0$
Dove sbaglio?
Risposte
La risoluzione è errata ed è viziata da un errore di fondo, concettuale. Tranquillo, cerchiamo di aggiustare insieme le cose.
Vediamo un po'.
Qui c'è un errore. L'infinitesimo campione per $x to x_0$ è $|x-x_0|^alpha$.
Per risolvere correttamente l'esercizio, devi trovare un $alpha>0$ per cui
$lim_(x to x_0) f(x)/|x-x_0|^alpha$ venga finito e diverso a $0$.
Hai capito? Se un tale $alpha$ esiste allora si dice che la funzione ha ordine di infinitesimo, per $x to x_0$, pari ad $alpha$.
Nel tuo caso quindi, devi determinare $alpha$ in modo che
$lim_(x_0->0)(sin(x)-tan(x))/|x|^alpha=l in RR-{0}$
Come hai già sperimentato
, $alpha=1$ non va bene, perchè il limite viene nullo.
Adesso, non so che conoscenze tu abbia in materia, l'idea buona e rapida sarebbe sviluppare con Taylor (terzo ordine dovrebbe bastare).
Conosci il polinomio di Taylor?
Vediamo un po'.
"qwerty90":
Un esercizio mi dice di calcolare l'ordine di infinitesimo di
$ f(x) = sin (x) - tan (x) $ con $ x_0 = 0 $
Io ho fatto così: l'infinitesimo campione è $ x - x_0 $ quindi per $x_0 = 0$ :
Qui c'è un errore. L'infinitesimo campione per $x to x_0$ è $|x-x_0|^alpha$.
Per risolvere correttamente l'esercizio, devi trovare un $alpha>0$ per cui
$lim_(x to x_0) f(x)/|x-x_0|^alpha$ venga finito e diverso a $0$.
Hai capito? Se un tale $alpha$ esiste allora si dice che la funzione ha ordine di infinitesimo, per $x to x_0$, pari ad $alpha$.
Nel tuo caso quindi, devi determinare $alpha$ in modo che
$lim_(x_0->0)(sin(x)-tan(x))/|x|^alpha=l in RR-{0}$
Come hai già sperimentato
, $alpha=1$ non va bene, perchè il limite viene nullo. Adesso, non so che conoscenze tu abbia in materia, l'idea buona e rapida sarebbe sviluppare con Taylor (terzo ordine dovrebbe bastare).
Conosci il polinomio di Taylor?
"Paolo90":
Adesso, non so che conoscenze tu abbia in materia, l'idea buona e rapida sarebbe sviluppare con Taylor (terzo ordine dovrebbe bastare).
Conosci il polinomio di Taylor?
Beh, al corso d'analisi l'abbiamo studiato però ancora non mi sono esercitato! Però posso provarci con una buona spinta
Poi per $ x_0 = 0$ non si trasforma nel polinomio di McLaurin? o erro?
Ho fatto un po' di conti, dovrebbe venire anche con i limiti notevoli, anche se con Taylor era più immediato.
Prova un po', e facci sapere.
P.S. Taylor, nolente o volente, bisogna studiarlo.
Se proprio vuoi una spinta per partire, visto che non ti sei ancora esercitato, vai a cercarti direttamente gli sviluppi di MacLaurin fino al terzo ordine di seno e tangente; poi li sostituisci brutalmente al numeratore. Capisci subito che cosa succede e quanto deve valere $alpha$...
Prova un po', e facci sapere.
P.S. Taylor, nolente o volente, bisogna studiarlo.
Se proprio vuoi una spinta per partire, visto che non ti sei ancora esercitato, vai a cercarti direttamente gli sviluppi di MacLaurin fino al terzo ordine di seno e tangente; poi li sostituisci brutalmente al numeratore. Capisci subito che cosa succede e quanto deve valere $alpha$...
ok grazie. Ti farò sapere!
Ulteriore suggerimento: visto che ricavare lo sviluppo di Taylor/MacLaurin di [tex]$\tan x$[/tex] (se non lo ricordi) è una gran rottura, considererei la possibilità di sostituire [tex]$\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$[/tex] in [tex]$\sin x-\tan x$[/tex], prendere il denominatore comune, ed applicare una formula di duplicazione per il seno.
Dopodiché trovi tutti seni, quindi giocare con Taylor diventa facile.
Dopodiché trovi tutti seni, quindi giocare con Taylor diventa facile.
"gugo82":
Ulteriore suggerimento: visto che ricavare lo sviluppo di Taylor/MacLaurin di [tex]$\tan x$[/tex] (se non lo ricordi) è una gran rottura, considererei la possibilità di sostituire [tex]$\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$[/tex] in [tex]$\sin x-\tan x$[/tex], prendere il denominatore comune, ed applicare una formula di duplicazione per il seno.
Dopodiché trovi tutti seni, quindi giocare con Taylor diventa facile.
Grazie per il consiglio! Adesso vedo di mettermi all'opera...
E' la prima volta che applico Taylor / MacLaurin.... se sbaglio non mi lapidate
quindi dal suggerimento di gugo82 ottengo
$ [(sin(2x) - 2*sin(x))*|x^alpha|]/ (2*cos(x)) $
adesso applico MacLaurin ($ x_0 = 0$) fino al 3° ordine
Numeratore:
1° termine: $sin(2x)$
$f'(sin(2x)) = 2*cos(2x) ; $
$f^('')(sin(2x)) = -2*sin(2x) ;$
$f^(''')(sin(2x))= -2*cos(2x) $
quindi:
$ sin(2x) = 1 + 2x - frac{2*x^3}{3!} + o(x^4)$
2°termine: $ -2* sin(x)$
$f'(-2*sin(x)) = -2*cos(x) ;$
$f^('')(-2*sin(x)) = 2*sin(x) ; $
$f^(''')(-2*sin(x))= 2*cos(x) $
quindi:
$ -2*sin(x) = 1 - 2x + frac{2*x^3}{3!} + o(x^4)$
Denominatore:
$2*cos(x)$
$f'(2*cos(x)) = -2*sin(x) ;$
$f^('')(2*cos(x)) = -2*cos(x) ; $
$f^(''')(2*cos(x))= 2*sen(x) $
quindi:
$ 2*cos(x) = 1 - frac{2*x^2}{2!} + o (x^4)$
dunque ho :
$ frac{sin(2x) - 2*sin(x)} {2*cos(x)} = frac{2*x^\alpha}{1 - x^2}$
quindi $\alpha = 2$
esatto??
Ehilà .
C'è qualcosa che non va.
Dovevamo trovare $alpha$ per cui $lim_(x->0)(sin(x)-tan(x))/|x|^alpha=l in RR-{0}$, cioè venga finito e non nullo.
Confesso che mi sono un po' perso nei tuoi conti e non trovo più la $x$ che era a denominatore. Sicuro di aver fatto i conti per bene?
Il fatto è che se prendi gli sviluppi pre-confezionati troncati al terzo ordine hai
$lim_(x->0)(sin(x)-tan(x))/|x|^alpha=lim_(x->0) (x-x^3/6-(x+x^3/3)+o(x^3))/|x|^alpha$ che evidentemente viene finito e non nullo se $alpha=3$.
Infatti, puoi verificare anche con i limiti notevoli che $(sinx-tanx)/x^3$ va a una costante ($-1/2$, mi pare) quando $x to 0$.
Prova un po' a ricontrollare i tuoi conti e facci sapere.
.C'è qualcosa che non va.
Dovevamo trovare $alpha$ per cui $lim_(x->0)(sin(x)-tan(x))/|x|^alpha=l in RR-{0}$, cioè venga finito e non nullo.
Confesso che mi sono un po' perso nei tuoi conti e non trovo più la $x$ che era a denominatore. Sicuro di aver fatto i conti per bene?
Il fatto è che se prendi gli sviluppi pre-confezionati
troncati al terzo ordine hai $lim_(x->0)(sin(x)-tan(x))/|x|^alpha=lim_(x->0) (x-x^3/6-(x+x^3/3)+o(x^3))/|x|^alpha$ che evidentemente viene finito e non nullo se $alpha=3$.
Infatti, puoi verificare anche con i limiti notevoli che $(sinx-tanx)/x^3$ va a una costante ($-1/2$, mi pare) quando $x to 0$.
Prova un po' a ricontrollare i tuoi conti e facci sapere.
"Paolo90":
Prova un po' a ricontrollare i tuoi conti e facci sapere.
Il problema è che anche rivedendo i calcoli non capisco dove sbaglio
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
"qwerty90":
$ [(sin(2x) - 2*sin(x))*|x^alpha|]/ (2*cos(x)) $
L'hai aggiunta adesso $x^alpha$, prima non c'era. Secondo i miei conti, comunque dovrebbe stare sotto, a denominatore.
"Paolo90":
[quote="qwerty90"]
$ [(sin(2x) - 2*sin(x))*|x^alpha|]/ (2*cos(x)) $
L'hai aggiunta adesso $x^alpha$, prima non c'era. Secondo i miei conti, comunque dovrebbe stare sotto, a denominatore.[/quote]
L'ho aggiunta adesso perchè prima l'avevo sottinteso.. però l'avevo aggiunto a fine calcolo....
Comunque perchè deve stare sotto scusa? Il denominatore di un denominatore non si riporta a numeratore? (scusa il gioco di parole)
Ma tu hai $((a/b))/c=1/c*a/b=a/(bc)$ non $((a/b))/((c/d))=1/((c/d))a/b=d/c*a/b=(da)/(bc)$...
Occhio all'algebra!
Occhio all'algebra!
"Paolo90":
Ma tu hai $((a/b))/c=1/c*a/b=a/(bc)$ non $((a/b))/((c/d))=1/((c/d))a/b=d/c*a/b=(da)/(bc)$...
Occhio all'algebra!
ops che figura di mer...
ok è al denominatore...quindi ho:
$lim(x->0) frac{2}{(1 - x^2) * x^alpha}$
il limite viene indeterminato.... mi sto confondendo...
"qwerty90":
Numeratore:
1° termine: $sin(2x)$
$f'(sin(2x)) = 2*cos(x) ; $
$f^('')(sin(2x)) = -2*sin(x) ;$
$f^(''')(sin(2x))= -2*cos(x) $
quindi:
$ sin(2x) = 1 + 2x - frac{2*x^3}{3!} + o(x^4)$
Hai sbagliato a derivare; dalla prima in poi, dimentichi che l'argomento delle derivate è $2x$!
"gugo82":
[quote="qwerty90"]Numeratore:
1° termine: $sin(2x)$
$f'(sin(2x)) = 2*cos(x) ; $
$f^('')(sin(2x)) = -2*sin(x) ;$
$f^(''')(sin(2x))= -2*cos(x) $
quindi:
$ sin(2x) = 1 + 2x - frac{2*x^3}{3!} + o(x^4)$
Hai sbagliato a derivare; dalla prima in poi, dimentichi che l'argomento delle derivate è $2x$![/quote]
grazie per avermi corretto...
1° termine: $sin(2x)$
$f'(sin(2x)) = 2*cos(2x) ; $
$f^('')(sin(2x)) = -2*sin(2x) ;$
$f^(''')(sin(2x))= -2*cos(2x) $
ma il risultato non cambia...
"qwerty90":
1° termine: $sin(2x)$
$f'(sin(2x)) = 2*cos(x) ; $
$f^('')(sin(2x)) = -2*sin(x) ;$
$f^(''')(sin(2x))= -2*cos(x) $
quindi:
$ sin(2x) =$ 1 $+ 2x - frac{2*x^3}{3!} + o(x^4)$
2°termine: $ -2* sin(x)$
$f'(-2*sin(x)) = -2*cos(x) ;$
$f^('')(-2*sin(x)) = 2*sin(x) ; $
$f^(''')(-2*sin(x))= 2*cos(x) $
quindi:
$ -2*sin(x) = $1 $- 2x + frac{2*x^3}{3!} + o(x^4)$
Da dove saltano fuori quegli $1$ che ho evidenziato?
"Paolo90":
[quote="qwerty90"]
1° termine: $sin(2x)$
$f'(sin(2x)) = 2*cos(x) ; $
$f^('')(sin(2x)) = -2*sin(x) ;$
$f^(''')(sin(2x))= -2*cos(x) $
quindi:
$ sin(2x) =$ 1 $+ 2x - frac{2*x^3}{3!} + o(x^4)$
2°termine: $ -2* sin(x)$
$f'(-2*sin(x)) = -2*cos(x) ;$
$f^('')(-2*sin(x)) = 2*sin(x) ; $
$f^(''')(-2*sin(x))= 2*cos(x) $
quindi:
$ -2*sin(x) = $1 $- 2x + frac{2*x^3}{3!} + o(x^4)$
Da dove saltano fuori quegli $1$ che ho evidenziato?
[/quote]Allora mi hai mandando in tilt con questa domanda
Se taylor/maclaurin inizia da k =0..
$frac {f^0 (0)}{0!} * x^0 + R(x) = 1 $
o no??
"qwerty90":
Allora mi hai mandando in tilt con questa domanda
Se taylor/maclaurin inizia da k =0..
$frac {f^0 (0)}{0!} * x^0 + R(x) = 1 $
o no??
Certamente, Taylor comincia con $k=0$. Solo che $f^(0)=" funzione di partenza "$.
Per cui, quanto fa $sin0$?
"Paolo90":
Certamente, Taylor comincia con $k=0$. Solo che $f^(0)=" funzione di partenza "$.
Per cui, quanto fa $sin0$?
0
ma adesso io ho:
$lim(x->0) frac{0*x^alpha}{1-x^2} $
Scrivimi i conti che fai al numeratore per ricavare lo sviluppo, per piacere: è lì il problema, secondo me. Dopo aver trovato le derivate che cosa fai?
"Paolo90":
Scrivimi i conti che fai al numeratore per ricavare lo sviluppo, per piacere: è lì il problema, secondo me. Dopo aver trovato le derivate che cosa fai?
Allora come puoi vedere dai calcoli fatti nella 1a pagina....Mi viene fuori:
Numeratore:
$2*x -frac{2*x^3}[3!} - 2*x + frac{2*x^2}[3!} = 0
dove:
1) $2x$ è il risultato della derivata prima di $sin(2*x) $ cioè $frac{2*cos(0)}{1!} * x^1 = 2x $
2) $-frac{2*x^3}[3!}$ è il risultato della derivata terza di $sin(2*x) $ cioè $frac{-2*cos(0)}{3!} * x^3 = -frac{2*x^3}[3!}$
3) $-2x$ è il risultato della derivata prima di $-2*sin(x) $ cioè $frac{-2*cos(0)}{1!} * x^1 = -2x $
4) $+frac{2*x^3}[3!}$ è il risultato della derivata terza di $-2*sin(x) $ cioè $frac{2*cos(0)}{3!} * x^3 = +frac{2*x^3}[3!}$
Le derivate seconde si annullano poichè $sin(0) =0$
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