Calcolare l'ordine di infinitesimo di una funzione
Un esercizio mi dice di calcolare l'ordine di infinitesimo di
$ f(x) = sin (x) - tan (x) $ con $ x_0 = 0 $
Io ho fatto così:
l'infinitesimo campione è $ x - x_0 $ quindi per $x_0 = 0$ :
$lim_(x_0->0)(sin(x)-tan(x))/x $
ora ho diviso i 2 limiti e ottengo:
$lim_(x_0->0)(sin(x)/x) - lim_(x_0->0)(tan(x)/x) $
ora per il limite notevole
$lim_(x_0->0)(sin(x)/x) = 1 $
e potendo "cambiare" (credo) $tan(x)$ con $sin(x)$ per $x rarr 0 $
il limite finale dovrebbe venire
$ 1 - 1 = 0 $
ma io so che l'ordine di un infinitesimo dovrebbe venire $!=0$
Dove sbaglio?
$ f(x) = sin (x) - tan (x) $ con $ x_0 = 0 $
Io ho fatto così:
l'infinitesimo campione è $ x - x_0 $ quindi per $x_0 = 0$ :
$lim_(x_0->0)(sin(x)-tan(x))/x $
ora ho diviso i 2 limiti e ottengo:
$lim_(x_0->0)(sin(x)/x) - lim_(x_0->0)(tan(x)/x) $
ora per il limite notevole
$lim_(x_0->0)(sin(x)/x) = 1 $
e potendo "cambiare" (credo) $tan(x)$ con $sin(x)$ per $x rarr 0 $
il limite finale dovrebbe venire
$ 1 - 1 = 0 $
ma io so che l'ordine di un infinitesimo dovrebbe venire $!=0$
Dove sbaglio?
Risposte
"qwerty90":
[quote="gugo82"][quote="qwerty90"]Numeratore:
1° termine: $sin(2x)$
$f'(sin(2x)) = 2*cos(x) ; $
$f^('')(sin(2x)) = -2*sin(x) ;$
$f^(''')(sin(2x))= -2*cos(x) $
quindi:
$ sin(2x) = 1 + 2x - frac{2*x^3}{3!} + o(x^4)$
Hai sbagliato a derivare; dalla prima in poi, dimentichi che l'argomento delle derivate è $2x$![/quote]
grazie per avermi corretto...
1° termine: $sin(2x)$
$f'(sin(2x)) = 2*cos(2x) ; $
$f^('')(sin(2x)) = -2*sin(2x) ;$
$f^(''')(sin(2x))= -2*cos(2x) $
ma il risultato non cambia...[/quote]
Triste a dirsi, ma sbagli di nuovo a derivare. Più attenzione.
Allora, una volta per tutte:
$f(x)=sin(2x) => f(0)=0$
$f'(x)=2cos(2x) => f'(0)=2$
$f''(x)=-4sin(2x) => f'''(0)=0$
$f'''(x)=-8cos(2x) => f'''(0)=-8$
Il polinomio di MacLaurin troncato al terzo ordine per la funzione $f$ è $2x-4/3x^3+o(x^3)$.
$g(x)=2sin(x) => f(0)=0$
$g'(x)=2cos(x) => f'(0)=2$
$g''(x)=-2sin(x) => f'''(0)=0$
$g'''(x)=-2cos(x) => f'''(0)=-2$
Il polinomio di MacLaurin troncato al terzo ordine per la funzione $g$ è $2x-1/3x^3+o(x^3)$.
Al numeratore quindi...
Continua tu, prestando attenzione ai conti.
$f(x)=sin(2x) => f(0)=0$
$f'(x)=2cos(2x) => f'(0)=2$
$f''(x)=-4sin(2x) => f'''(0)=0$
$f'''(x)=-8cos(2x) => f'''(0)=-8$
Il polinomio di MacLaurin troncato al terzo ordine per la funzione $f$ è $2x-4/3x^3+o(x^3)$.
$g(x)=2sin(x) => f(0)=0$
$g'(x)=2cos(x) => f'(0)=2$
$g''(x)=-2sin(x) => f'''(0)=0$
$g'''(x)=-2cos(x) => f'''(0)=-2$
Il polinomio di MacLaurin troncato al terzo ordine per la funzione $g$ è $2x-1/3x^3+o(x^3)$.
Al numeratore quindi...
Continua tu, prestando attenzione ai conti.
"gugo82":
Triste a dirsi, ma sbagli di nuovo a derivare. Più attenzione.
ooook
grazie mille ad entrambi!!!
chiedo scusa per la mia ignoranza..
"qwerty90":
[quote="gugo82"]
Triste a dirsi, ma sbagli di nuovo a derivare. Più attenzione.
ooook
grazie mille ad entrambi!!!
chiedo scusa per la mia ignoranza..
[/quote]Non è ignoranza; è pura e semplice distrazione. Capita a tutti di sbagliare.
Riuppo questo topic per non aprirne un altro.
La scelta di $alpha$, grado dell'infinitesimo campione, viene fatta a priori oppure dopo determinati ragionamenti del procedimento? Dall'esercizio di qwerty non riesco a capire sinceramente.
E, perchè ha usato l'infniitesimo campione $|x - x_o|^alpha$ e non $1/|x|^alpha$ ??
La scelta di $alpha$, grado dell'infinitesimo campione, viene fatta a priori oppure dopo determinati ragionamenti del procedimento? Dall'esercizio di qwerty non riesco a capire sinceramente.
E, perchè ha usato l'infniitesimo campione $|x - x_o|^alpha$ e non $1/|x|^alpha$ ??
Perché \( \frac{1}{\vert\, x \vert\, ^{\alpha}} \) non è infinitesima per \( x \rightarrow x_0 \).
Devo calcolare l'ordine d'infinitesimo in $0$ della funzione:
$g(x) = (x^2/2 + cosx)^(1/(x^2)) - 1$
Ovvero devo trovare un valore di $alpha > 0$ tale che il seguente limite non da $0$:
$lim_{x->0} ((x^2/2 + cosx)^(1/(x^2)) - 1)/(|x|^(alpha)$
Con lo sviluppo di MacLaurin ho '' trasformato '' $cosx = 1 - x^2/2 + o(x^2)$ così da poter semplificare e trovarmi un limite del genere:
$lim_{x->0} ((1 + o(x^2))^(1/(x^2)) - 1)/(|x|^(alpha)$
Ora, osservando un po' di limiti notevoli non trovo nulla d'appetibile, in quanto l'unico che si avvicina richiede che il denominatore sia uguale all'esponente, ed io non posso scegliere un $alpha = -2$.
Come posso procedere?
$g(x) = (x^2/2 + cosx)^(1/(x^2)) - 1$
Ovvero devo trovare un valore di $alpha > 0$ tale che il seguente limite non da $0$:
$lim_{x->0} ((x^2/2 + cosx)^(1/(x^2)) - 1)/(|x|^(alpha)$
Con lo sviluppo di MacLaurin ho '' trasformato '' $cosx = 1 - x^2/2 + o(x^2)$ così da poter semplificare e trovarmi un limite del genere:
$lim_{x->0} ((1 + o(x^2))^(1/(x^2)) - 1)/(|x|^(alpha)$
Ora, osservando un po' di limiti notevoli non trovo nulla d'appetibile, in quanto l'unico che si avvicina richiede che il denominatore sia uguale all'esponente, ed io non posso scegliere un $alpha = -2$.
Come posso procedere?
Ragazzi, riuppo un attimo il topic perchè non sono sicuro sull'esattezza dell'interpretazione della traccia e dell'utilizzo dell'infinitesimo campione.
Determinare l'ordine di infinitesimo in zero della seguente funzione:
$f(x) = (1+x^2)^(1/x) - 1$
Ora, io ho studiato questo limite, cercando un valore di $alpha > 0$ tale che venga un numero reale finito e non nullo:
$lim_{x->0} [(1+x^2)^(1/x) - 1]/[x^(alpha)]$
E' corretta l'interpretazione? Poi mi trovo con $alpha = 1$ un valore finito e reale $1$.
Determinare l'ordine di infinitesimo in zero della seguente funzione:
$f(x) = (1+x^2)^(1/x) - 1$
Ora, io ho studiato questo limite, cercando un valore di $alpha > 0$ tale che venga un numero reale finito e non nullo:
$lim_{x->0} [(1+x^2)^(1/x) - 1]/[x^(alpha)]$
E' corretta l'interpretazione? Poi mi trovo con $alpha = 1$ un valore finito e reale $1$.
Ragazzi , salve a tutti , avrei bisogno dello stesso limite svolto attraverso limiti notevoli , ve ne sarei molto grato.
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