Calcolare la primitiva

[cri981]

dato il seguente integrale

$ int (sin(2x))^2 dx $= $ int sin^2(2x) dx $

mi date una mano a capire come calcolare la primitiva?

Grazie!

[pilloeffe]

Ciao cri98,

Beh, è piuttosto semplice, se consideri che si ha:

$sin(t/2) = \sqrt{(1 - cos(t))/2} \implies sin^2 (t/2) = (1 - cos(t))/2 $

Ponendo $ t := 4x $ si ha $ sin^2 (2x) = (1 - cos(4x))/2 $

[cri981]

ciao pilloeffe
non mi è molto chiaro
mi sembra di aver capito che effettui una sostituzione
se chiamo t=2x ottengo dt=2 dx
ma visto che nel integrale ho soltanto dx divido per 2 dt/2=dx
ci sono?
Grazie!

[anto_zoolander]

se non ricordi la bisezione

$sin^2(2x)=sin(2x)*sin(2x)$ e integri per parti: cosa ottieni(potrebbe essere un'altra idea)?

[pilloeffe]

"cri98":mi sembra di aver capito che effettui una sostituzione

No, in effetti non hai capito...
Ho voluto semplicemente dimostrarti che si ha:

$ sin^2 (2x) = (1 - cos(4x))/2 $

Per cui si può sostituire la seconda espressione nell'integrale proposto e si ha:

$\int sin^2 (2x) \text{d}x = \int (1 - cos(4x))/2 \text{d}x = 1/2 \int \text{d}x - 1/2 \int cos(4x) \text{d}x = x/2 - 1/8 sin(4x) + c $

[cri981]

Grazie

[pilloeffe]

"cri98":Grazie

Prego!
Ti propongo una generalizzazione:

$\int sin^2 (mx) \text{d}x $

Soluzione: contenuta qui (però non sbirciare senza prima averci provato... )

[cri981]

ok grazie