Calcolare il volume con gli integrali

[lorenzofranco24]

Salve ragazzi, studiando su alcuni libri ultimamente mi è capitato di notare che è possibile calcolare il volume di una sfera avendo la formula della superficie della sfera stessa, mi spiego:
S= $ 4pi r^2 $ (superficie sfera)
Se immagino il volume come una successione di superfici sferiche concentriche posso trovarne la formula integrando rispetto al raggio r, infatti: $ int_(0)^(r) 4pi r^2 dr =4/3pir^3 $ che è proprio la formula del volume della sfera.
Stesso ragionamento può essere fatto tra la circonferenza e l'area di un cerchio
$ int_(0)^(r) 2pir dr =pir^2 $
Mi chiedevo perché lo stesso ragionamento non è valido con altre figure geometriche come il cubo. il suo volume non può essere viste come una successione di superfici cubiche?

[dissonance]

In principio lo puoi fare. Il problema è che non esiste un sistema di coordinate facile da usare come le coordinate sferiche e tale che gli insiemi di livello della coordinata radiale siano cubi, per quello è un po' più difficile.

EDIT: Il metodo generale di questo tipo di calcoli si chiama (specialmente in ingegeria) "integrazione per strati":

integrazione-per-strati-e-cambio-di-variabile-integr-tripli-t61155.html