Calcolare il limite

[rsist]

Si calcoli, se esiste, il seguente limite:
$\lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{sin(x^2)+2x}\cdot sin\frac{1}{x}$
grazie

[Noisemaker]

qualche idea?

[rsist]

il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0... ho provato razionalizzando avvero moltiplicando e dividendo per $sqrt{1+x^2}+1$..
ora però mi sono bloccato non sò cosa devo fare...

[Noisemaker]

veramente hai il trodotto tra una forma indeterminata e un limite che non esiste; basta ricordare qualche limite notevole e il fatto che il prodotto tra una funzione limitata ed una infinitesima è $0;$
ricorada che:
\begin{align} \lim_{x\to0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha, \qquad \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.\end{align}
Ora cercando do ricodurre i termini del limite hai limiti citati hai:
\begin{align}
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{\color{brown}{x^2}\left(\displaystyle\frac{\sin x^2}{\color{red} x^{\color{red} 2}}\cdot \color{red} x^{\color{red}2}+2x\right) }\cdot \color{brown}{x^2}\cdot\sin\frac{1}{x}
\end{align}

[Maci86]

Occhio, ti sei mangiato un pezzo del raccoglimento!

[rsist]

Ehi potresti spiegarti meglio...magari facendo tutti i passaggi... Non sto capendo niente...grazie