Base di intorni di $\mathbb{N}$
In $\mathbb{R}$, dimostrare che $\mathbb{N}$ non possiede un sistema fondamentale numerabile di intorni.
Hint: Dimostrare per assurdo, tenendo conto del fatto che: se $(a_{mn})$ è una successione doppia di numeri strettamente positivi, la successione $(b_n)$, con $b_n=\frac{a_{n n}}{2}$ è tale che non esista un $m$ per cui $b_n \geq a_{mn}$ valga per tutti gli interi $n$.
$I_m := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B(n;\frac{1}{m})$ mi sembra una base numerabile di intorni (unione numerabile di insiemi numerabili), non capisco perché non vada bene, qualche anima pia che mi schiarisca le idee? (mi sono addentrato da poco nella topologia)
Hint: Dimostrare per assurdo, tenendo conto del fatto che: se $(a_{mn})$ è una successione doppia di numeri strettamente positivi, la successione $(b_n)$, con $b_n=\frac{a_{n n}}{2}$ è tale che non esista un $m$ per cui $b_n \geq a_{mn}$ valga per tutti gli interi $n$.
$I_m := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B(n;\frac{1}{m})$ mi sembra una base numerabile di intorni (unione numerabile di insiemi numerabili), non capisco perché non vada bene, qualche anima pia che mi schiarisca le idee? (mi sono addentrato da poco nella topologia)
Risposte
Veramente \(I_m\) è un ricoprimento per aperti di \(\mathbb{N}\)...
Penso che il testo sia da interpretarsi così:
Però non capisco il suggerimento... una dimostrazione "a mano" te la posso anche proporre, ma credo che il\la prof. voglia spronarti a giocare con le successioni!
Penso che il testo sia da interpretarsi così:
In $ \mathbb{R} $, dimostrare che $ \mathbb{N} $ non possiede un sistema fondamentale esattamente numerabile di intorni.dato che ogni numero naturale costituisce un s.f.i. di se stesso!
Però non capisco il suggerimento... una dimostrazione "a mano" te la posso anche proporre, ma credo che il\la prof. voglia spronarti a giocare con le successioni!
"j18eos":
Veramente \(I_m\) è un ricoprimento per aperti di \(\mathbb{N}\)...
Penso che il testo sia da interpretarsi così:In $ \mathbb{R} $, dimostrare che $ \mathbb{N} $ non possiede un sistema fondamentale esattamente numerabile di intorni.dato che ogni numero naturale costituisce un s.f.i. di se stesso!
Però non capisco il suggerimento... una dimostrazione "a mano" te la posso anche proporre, ma credo che il\la prof. voglia spronarti a giocare con le successioni!
Non è un esercizio proposto da un prof, l'ho preso dal primo volume del Dieudonné (Traité d'analyse).
Ragionando "a spanne" mi sono reso conto che $I_m$ non va bene, perché non è, ad esempio, una base per l'insieme $C = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} B(n;\frac{1}{n})$, ma non riesco a dimostrare formalmente che non ne esiste alcuno, usando le successioni o meno. L'idea di fondo credo sia quella di dimostrare che un insieme che si comporta come $C$ non può avere una base numerabile, ma non riesco a formalizzarla.
Postmetto che non ho ancora studiato topologia in un corso (sono al primo anno), sto studiando analisi da Prodi e Dieudonné, (che premettono gli spazi metrici e topologici alla trattazione di limiti, differenziabilità ecc.), quindi non escluderei la possibilità che io abbia commesso qualche errore di tipo concettuale.
La dimostrazione "a mano" come sarebbe?
Io non sono un matematico, ma pensavo di capirne un po' di topologia.
Non capisco perchè mai $S = { B(n,1/m): n in NN, m in NN^+}$ non sia un sistema fondamentale di intorni per $NN$.
Infatti preso un qualsiasi intorno $U$ di un numero naturale $n$ esisterà un intervallino $]n-1/m, n+1/m[ sube U$, e ovviamente $]n-1/m, n+1/m[ in S$.
$S$ è inoltre numerabile perchè ha la stessa cardinalità di $NN^2$.
Non capisco perchè mai $S = { B(n,1/m): n in NN, m in NN^+}$ non sia un sistema fondamentale di intorni per $NN$.
Infatti preso un qualsiasi intorno $U$ di un numero naturale $n$ esisterà un intervallino $]n-1/m, n+1/m[ sube U$, e ovviamente $]n-1/m, n+1/m[ in S$.
$S$ è inoltre numerabile perchè ha la stessa cardinalità di $NN^2$.
Se consideri l'insieme che ho chiamato $C$, è un intorno di $NN$ (in realtà di $NN^+$, ma cambia poco) ma non esiste un $m$ per cui $I_m \sube C$ (dove $I_m$ sarebbe quello che tu hai chiamato $S$, scrivendo in esplicito l'inverso del raggio delle palle), dunque non è un sistema fondamentale di intorni. Credo che la chiave della dimostrazione stia proprio nel fatto che non esiste una base che sia numerabile e che contenga un intorno di $NN$ che sia infinitesimo al crescere degli $n \in NN$, ma non riesco a metterla nero su bianco.
Ci provo:
Sia $N(m)_n ={B(m;d_n^{(m)}), n \in NN}$ un sistema fondamentale di intorni per ciascun $m\in NN$, $I_n$ sfi numerabile di $NN$. Dovrà risultare $I_n \sub \bigcup_{m \in NN} N(m)_n$ non sarà limitativo (o almeno a me non lo sembra, questo è il punto più delicato, se è limitativo la dimostrazione non vale) supporre per opportune sottosuccessioni $(c_n^{(m)}) = (d_{j_x}^{(m)}) = (a_{mn})$, $I_n = { \bigcup_{m \in NN} B(m,a_{mn}), n \in NN}$. Per ogni $V = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} B(m;\b_m)$ esiste un $n_0$ tale che $I_{n_0} \sube V$ (per ipotesi). Perciò la relazione vale anche per $(b_m) = a_{m m}/2$, assurdo.
Va bene?
Sia $N(m)_n ={B(m;d_n^{(m)}), n \in NN}$ un sistema fondamentale di intorni per ciascun $m\in NN$, $I_n$ sfi numerabile di $NN$. Dovrà risultare $I_n \sub \bigcup_{m \in NN} N(m)_n$ non sarà limitativo (o almeno a me non lo sembra, questo è il punto più delicato, se è limitativo la dimostrazione non vale) supporre per opportune sottosuccessioni $(c_n^{(m)}) = (d_{j_x}^{(m)}) = (a_{mn})$, $I_n = { \bigcup_{m \in NN} B(m,a_{mn}), n \in NN}$. Per ogni $V = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} B(m;\b_m)$ esiste un $n_0$ tale che $I_{n_0} \sube V$ (per ipotesi). Perciò la relazione vale anche per $(b_m) = a_{m m}/2$, assurdo.
Va bene?
Non capisco la notazione...
Forse sono io che non ho capito bene la domanda: ogni numero naturale \(n\) con la topologia discreta (la topologia indotta da \((\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\) su \(\mathbb{N}\)) ammette come s.f.i. l'insieme \(\{n\}\); quindi \(\{\{n\}\in\mathscr{P}(\mathbb{N})\mid n\in\mathbb{N}\}\) è una base (di intorni) per \(\mathbb{N}\)!
Forse sono io che non ho capito bene la domanda: ogni numero naturale \(n\) con la topologia discreta (la topologia indotta da \((\mathbb{R};\mathcal{T}_{nat})\) su \(\mathbb{N}\)) ammette come s.f.i. l'insieme \(\{n\}\); quindi \(\{\{n\}\in\mathscr{P}(\mathbb{N})\mid n\in\mathbb{N}\}\) è una base (di intorni) per \(\mathbb{N}\)!
Non si parla della restrizione da $RR$ a $NN$ ma di $NN$ considerato come sottoinsieme di $RR$, siamo comunque in $RR$, con la sua topologia.
Allora cos'è una base di intorni per un insieme in uno spazio topologico? 
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