Baricentro
Determinare le coordinate del baricentro del dominio $D={(x,y):9<=x^2+y^2<=8y}$
Disegnando il dominio, si vede subito che l'ascissa del baricentro risulta essere 0. Rimane da calcolare l'ordinata, con la formula $Yo=1/(m(D))int int_D \ y dx \ dy$ dove m(D) è la misura dell'area della nostra figura.
Ho provato a calcolarmi l'area con considerazioni geometriche, ottenendo risultati che non mi hanno convinto in quanto compariva un $arcsin(3/4)$ che ho pensato avrebbe potuto darmi problemi dopo. Ma pur volendolo accettare come risultato, nel momento in cui devo calcolare l'integrale doppio non riesco ad esprimere il dominio come normale rispetto a uno dei due assi. Ho provato anche con le coordinate polari, ponendo il polo il (0,0) con $3<=rho<=8sintheta$ ma non so se può essere corretta come interpretazione.
Disegnando il dominio, si vede subito che l'ascissa del baricentro risulta essere 0. Rimane da calcolare l'ordinata, con la formula $Yo=1/(m(D))int int_D \ y dx \ dy$ dove m(D) è la misura dell'area della nostra figura.
Ho provato a calcolarmi l'area con considerazioni geometriche, ottenendo risultati che non mi hanno convinto in quanto compariva un $arcsin(3/4)$ che ho pensato avrebbe potuto darmi problemi dopo. Ma pur volendolo accettare come risultato, nel momento in cui devo calcolare l'integrale doppio non riesco ad esprimere il dominio come normale rispetto a uno dei due assi. Ho provato anche con le coordinate polari, ponendo il polo il (0,0) con $3<=rho<=8sintheta$ ma non so se può essere corretta come interpretazione.
Risposte
Nessun suggerimento?
Perchè non consideri il baricentro della figura che si ottiene dall'intersezione dei due cerchi? Così facendo, puoi calcolare il baricentro che ti interessa per differenza.
Con $-3/8sqrt(55)<=x<=3/8sqrt(55)$ mi ritrovo con valori abbastanza particolari...Avevo già provato a calcolarlo per differenza, ma al massimo riesco a calcolarmi l'area; quando devo calcolare l'integrale doppio diventa un pò un casino...
Io intendevo non svolgere integrali.
Scusa la domanda, ma non ho capito bene cosa intendi dire...come te lo vuoi calcolare questo baricentro, senza svolgere integrali?
Il baricentro della figura che ti ho detto, per motivi di simmetria, ha $x=0$ e $y=9/8$, la stessa ordinata dei due punti d'intersezione tra le due circonferenze. Anche il calcolo dell'area di quella figura si può svolgere per via elementare.
scusa speculor non riesco a capire perchè il 9/8? che ragionamento fai? se inoltre avessi una densità il discorso che fai ovviamente non starebeb più in piedi. quindi ti chiedo anche io come risolverlo con gli integrali.
grazie
grazie
Scusate, ho detto una bischerata. 
Quando ho fatto la figura, non mi sono accorto che i raggi delle due circonferenze erano diversi. 
Ritiro tutto quello che ho detto. 
Se non vi basta e volete picchiarmi, vi prego, limitatevi ad utilizzare bastoni e catene. 
Quando ho fatto la figura, non mi sono accorto che i raggi delle due circonferenze erano diversi. Ritiro tutto quello che ho detto. Se non vi basta e volete picchiarmi, vi prego, limitatevi ad utilizzare bastoni e catene.
No e infatti mi sembrava strano..vabbè, resta irrisolto per il momento. Ho provato ad insistere con le coordinate polari ma vengono valori fastidiosi..magari sarà fatto bene, ma non mi sono voluto fidare ^^
A questo punto vorrei sdebitarmi. Vuoi una conferma sull'impostazione dell'integrale, oppure vuoi anche il risultato?
Il risultato non mi interessa troppo, mi interesserebbe sapere a questo punto quale può essere il metodo migliore per svolgerlo! Avevo provato a impostarlo in coordinate polari ma come dicevo prima mi compare sempre un $arcsin(3/8)$ che mi complicava parecchio i calcoli...
Gli integrali più semplici, come tu stesso avevi detto, si dovrebbero ottenere in coordinate polari:
$y_G=(2int_(\alpha)^(\pi/2)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho^2sin\theta)/(2int_(\alpha)^(\pi/2)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho)$ dove $sin\alpha=3/8$.
Io farei i conti utilizzando la notazione generica $\alpha$, solo alla fine andrei a sostituire. Se dovessi aver bisogno di $cos\alpha$, puoi utilizzare la prima relazione fondamentale.
$y_G=(2int_(\alpha)^(\pi/2)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho^2sin\theta)/(2int_(\alpha)^(\pi/2)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho)$ dove $sin\alpha=3/8$.
Io farei i conti utilizzando la notazione generica $\alpha$, solo alla fine andrei a sostituire. Se dovessi aver bisogno di $cos\alpha$, puoi utilizzare la prima relazione fondamentale.
Però non mi trovo con la variazione di $theta$, da dove lo cacci quel $pi/2$ ? Dovrebbe variare tra i punti di intersezione tra le circonferenze, no? Almeno a occhio, poi anche facendo i calcoli mi veniva una cosa del tipo $arcsin(3/8)<=theta<=arcsin(-3/8)$ anche se su questo non ne sono assolutamente certo.
Il dominio e le funzioni integrande, rispettivamente $f(x,y)=y$ e $f(x,y)=1$, sono simmetriche rispetto all'asse $y$, puoi prendere il doppio dell'integrale esteso alla sola parte situata nel primo quadrante. Senza utilizzare le simmetrie, avresti dovuto svolgere i seguenti integrali:
$y_G=(int_(\alpha)^(\pi-\alpha)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho^2sin\theta)/(int_(\alpha)^(\pi-\alpha)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho)$ dove $sin\alpha=3/8$.
Attenzione! La funzione $arcsinx$ fornisce un angolo compreso tra $-\pi/2$ e $\pi/2$, quindi $arcsin(-3/8)$ sarebbe un angolo negativo appartenente al quarto quadrante. Invece, essendo $\alpha=arcsin(3/8)$ un angolo (acuto) positivo appartenente al primo quadrante, gli estremi di integrazione rispecchiano fedelmente il dominio in questione.
$y_G=(int_(\alpha)^(\pi-\alpha)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho^2sin\theta)/(int_(\alpha)^(\pi-\alpha)d\thetaint_(3)^(8sin\theta)d\rho\rho)$ dove $sin\alpha=3/8$.
Attenzione! La funzione $arcsinx$ fornisce un angolo compreso tra $-\pi/2$ e $\pi/2$, quindi $arcsin(-3/8)$ sarebbe un angolo negativo appartenente al quarto quadrante. Invece, essendo $\alpha=arcsin(3/8)$ un angolo (acuto) positivo appartenente al primo quadrante, gli estremi di integrazione rispecchiano fedelmente il dominio in questione.
è possibile risolvere questo esercizio con gauss green?
Ragazzi io penso che vada svolto in questo modo...
Per eludere la variazione dell'angolo $theta$ tra quei due angoli che si ottengono intersecando le due circonferenze, ho pensato di poter utilizzare le coordinate polari con centro $(4,0)$ quindi considerando
$ { ( x= 4+rho cos theta ),( y= rho sen theta ):} $
con $theta in [pi/2,pi] rho in [3,8 sen theta]$
quindi poi l'integrale diventa
$int_(pi/2)^(pi)d theta int_(3)^(8 sen theta) rho d rho=23/4pi$
la stessa cosa per calcolare
$int int_D y dxdy$
Per eludere la variazione dell'angolo $theta$ tra quei due angoli che si ottengono intersecando le due circonferenze, ho pensato di poter utilizzare le coordinate polari con centro $(4,0)$ quindi considerando
$ { ( x= 4+rho cos theta ),( y= rho sen theta ):} $
con $theta in [pi/2,pi] rho in [3,8 sen theta]$
quindi poi l'integrale diventa
$int_(pi/2)^(pi)d theta int_(3)^(8 sen theta) rho d rho=23/4pi$
la stessa cosa per calcolare
$int int_D y dxdy$
Aspetta aspetta, perchè questo centro in $(3,0)$? Noi abbiamo 2 circonferenze, di cui una ha centro nell'origine e raggio 3, l'altra ha centro in $(0,4)$ e raggio 4. Il $(3,0)$ onestamente non me lo ritrovo...
hai ragione mi sono imbrogliato ma cmq non fa molta differenza nei calcoli...
le equazioni polari le prendi nel punto $(4,0)$
le equazioni polari le prendi nel punto $(4,0)$
Intendi in $(0,4)$?
Se intendi in $(0,4)$ fai attenzione, perchè le equazioni polari delle due circonferenze cambiano. Quella con centro in $(0,4)$ e raggio 4 avrà equazione polare $rho=4$ mentre l'altra circonferenza, magari verifica tu stesso, potrei aver sbagliato qualcosa, dovrebbe avere equazione polare $rho=-4sintheta+sqrt(16sin^2theta-7)$
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