Autospazi

[rosva1]

Autospazi

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Qualcuno potrebbe dirmi se ho fatto giusto? Anticipatamente ringrazio

[Fabien]

Gli autovalori sono corretti e sono tutti distinti, quindi la matrice è certamente diagonalizzabile.

Quindi le dimensioni di ciascun autovalore hanno tutti dimensione 1.
Infatti per

[math]\lambda=3[/math]

l'autovetore associato è:

[math]V_3={[-2,0,1]}[/math]

e la dimensione

[math]V_3[/math]

ha dimensione 1.

Per gli altri autovalori troverai che per

[math]\lambda=6[/math]

l'autovettore associato è

[math]V_6={[1,1,1]}[/math]

Per

[math]\lambda=9[/math]

troverai che

[math]V_9={[0,1,0]}[/math]

e anche questi due autospazi hanno infatti dimensione 1.

[rosva1]

Da cosa deduci la dimensione?

Aggiunto 1 minuto più tardi:

La dimensione dipende dalla molteplicità algebrica dell'autovalore?

[Fabien]

La dimensione dell'autospazio calcolato è per definizione la molteplicità geometrica (e non algebrica) di un autovalore, cioè la dimensione del nucleo della matrice

[math]Ker[A-\lambda I][/math]

.
In soldoni la dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore considerato è il numero di autovettori linearmente indipendenti relativi a tale autovalore. Nel nostro caso i tre autospazi relativi ai tre autovalori hanno tutti un solo autovettore.

Se la molteplicità algebrica è pari a 1, necessariamente la molteplicità geometrica è anch'essa pari a 1.

Se gli autovalori sono tutti distinti come nel caso dell'esercizio, le molteplicità algebriche degli autovalori sono necessariamente pari a 1, anche la molteplicità geometrica è pari a uno, quindi la matrice di partenza è certamente diagonalizzabile.

In generale la molteplicità geometrica di un autovalore è minore o uguale alla molteplicità algebrica ed è come minimo 1.

[rosva1]

Non

Aggiunto 1 minuto più tardi:

Così è giusto?

[Fabien]

L'impostazione è corretta, lo stesso si fa con gli altri autovalori trovando i risultati che ti ho riportato nel precedente post.