Autofunzioni operatore aggiunto
Ciao.
Ho un dubbio ma non sono ancora riuscito a trovare niente che mi possa servire.
Per disaccoppiare un sistema di PDE sto usando massicciamente la proprietà che le autofunzioni dell'operatore aggiunto sono ortogonali alle autofunzioni dell'operatore di partenza. Volevo sapere se questa proprietà è valida per qualsiasi operatore o solo in alcuni casi particolari (nel mio caso gli operatori sono semplicemente matrici e quindi l'aggiunto è la trasposta) e come si dimostra ciò. Si dimostra banalmente che per un operatore generico vale se gli autovalori risultano diversi ma non sono riuscito a dimostrarlo se gli autovalori sono uguali.
Grazie a tutti per l'aiuto
Ho un dubbio ma non sono ancora riuscito a trovare niente che mi possa servire.
Per disaccoppiare un sistema di PDE sto usando massicciamente la proprietà che le autofunzioni dell'operatore aggiunto sono ortogonali alle autofunzioni dell'operatore di partenza. Volevo sapere se questa proprietà è valida per qualsiasi operatore o solo in alcuni casi particolari (nel mio caso gli operatori sono semplicemente matrici e quindi l'aggiunto è la trasposta) e come si dimostra ciò. Si dimostra banalmente che per un operatore generico vale se gli autovalori risultano diversi ma non sono riuscito a dimostrarlo se gli autovalori sono uguali.
Grazie a tutti per l'aiuto
Risposte
Nessuno ha qualche idea? Mi basterebbe anche qualche riferimento in quanto non trovo nulla su internet. Grazie
Ma in generale è falso. Prendi un operatore autoaggiunto. Le autofunzioni sono evidentemente le stesse per entrambi gli operatori e se fosse vera la tua affermazione esse dovrebbero essere tutte nulle.
Scusa sono stato impreciso nella mia esposizione.
Ogni autofunzione aggiunta è ortogonale a tutte le autofunzioni eccetto a una ed è proprio in virtu di questo fatto che posso diagonalizzare il sistema di pde.
Ogni autofunzione aggiunta è ortogonale a tutte le autofunzioni eccetto a una ed è proprio in virtu di questo fatto che posso diagonalizzare il sistema di pde.
Non è che abbia capito benissimo... Ma mi pare che non ci sia da fare nulla di strano. Tu hai un operatore \(A\), un suo autovalore \(\lambda\), il relativo autospazio \(E_\lambda\). E' vero che, prese \(f, g \in E_\lambda\), esse sono ortogonali? Naturalmente no. Però, applicando il procedimento di Gram-Schmidt, possiamo di sicuro estrarre una base ortonormale (di cardinalità pari alla molteplicità di \(\lambda\)) di \(E_\lambda\). Questo mi pare formalizzare quanto dici nel tuo ultimo post.
Mi spiego meglio.
Dato un problema agli autovalori
$\hat{L}u=\lambda u$
ed il relativo problema aggiunto
$\hat{L^+}u^+=\lambda^+ u^+$
voglio dimostrare che
$(u_i,u^+_j)=c\delta_{ij}$
dove $c$ è una costante, $u_i$ un'autofunzione e $u^+_j$ l'autofunzione aggiunta .
Ora dovrebbe essere chiaro.
Grazie
Dato un problema agli autovalori
$\hat{L}u=\lambda u$
ed il relativo problema aggiunto
$\hat{L^+}u^+=\lambda^+ u^+$
voglio dimostrare che
$(u_i,u^+_j)=c\delta_{ij}$
dove $c$ è una costante, $u_i$ un'autofunzione e $u^+_j$ l'autofunzione aggiunta .
Ora dovrebbe essere chiaro.
Grazie
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