Assoluta integrabilità
Perchè la funzione $sin(x)/x$ non è assolutamente integrabile?Mi sembra strano perchè provando a riolvere l'integrale mi viene fuori $\pi$
Risposte
Come hai fatto a risolvere l'integrale? Con il metodo dei residui, suppongo. Quindi quello che hai calcolato è
[tex]$\lim_{c \to +\infty} \int_{-c}^c \frac{\sin x}{x}\, dx[/tex].
Invece devi verificare che
[tex]$\int_{-\infty}^\infty \left\lvert \frac{\sin x}{x}\right\rvert\, dx=+\infty[/tex]
Sono due cose diverse, come questo classico esempio illustra molto bene.
[tex]$\lim_{c \to +\infty} \int_{-c}^c \frac{\sin x}{x}\, dx[/tex].
Invece devi verificare che
[tex]$\int_{-\infty}^\infty \left\lvert \frac{\sin x}{x}\right\rvert\, dx=+\infty[/tex]
Sono due cose diverse, come questo classico esempio illustra molto bene.
In realtà basta il teorema di cauchy ,visto che dentro il cammino non ci sono poli,con il lemma di jordan e il lemma di arco di cerchio piccolo.
Tornando a noi...io ho fatto così $\int_{-\infty}^{infty}|sin(x)/x| dx=\int_{0}^{infty}sinx/x dx+\int_{-\infty}^{0}sin(-x)/(-x )dx$ ricorandosi che
$sin(-x)/(-x)=sin(x)/x$ l'integrale diventa $\int_{-infty}^{infty}sin(x)/x dx$ dove erro?
Tornando a noi...io ho fatto così $\int_{-\infty}^{infty}|sin(x)/x| dx=\int_{0}^{infty}sinx/x dx+\int_{-\infty}^{0}sin(-x)/(-x )dx$ ricorandosi che
$sin(-x)/(-x)=sin(x)/x$ l'integrale diventa $\int_{-infty}^{infty}sin(x)/x dx$ dove erro?
"baldo89":
dove erro?
Qui:
"baldo89":
$\int_{-\infty}^{infty}|sin(x)/x| dx=\int_{0}^{infty}sinx/x dx+\int_{-\infty}^{0}sin(-x)/(-x )dx$
Non capisco la logica che c'è dietro al tuo ragionamento. Perchè togli il valore assoluto? Occhio al segno di $sinx/x$...
[asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin = -2; ymax = 2; axes();
plot("(sin(x)/x)");[/asvg]
evvvvvveeeroo!il segno cavolo.. come si dimostra che non è assolutamente integrabile?sempre con il metodo dei residui?
ho fatto progressi usando la maggiorazione $|sin(x)|>= sin^2(x)=(1-cos(2x))/2$ si ottiene che l'integrale di partenza è sempre maggiore o uguale di questo
$int_{0}^{\infty}(1-cos(2x))/(2x) dx$ controllando con mathematica si ottiene che questo integrale diverge ,quindi va bene il mio ragionamento. tuttavia ho provato a calcolarlo con i residui e mi viene zero. consideriamo il seguente integrale complesso sul solito cammino di integrazione a forma di goniometro
$int (1-e^(2iz))/z=0$ per il teorema dei residui poi spezzo l'integrale in quattro integrali (2 sull'asse x ,uno sul cerchio grande (che fa zero per il lemma di jordan),uno sul cerchio piccolo (che fa 0 per il noto lemma dia rco di cerchio piccolo)) dove erro?
$int_{0}^{\infty}(1-cos(2x))/(2x) dx$ controllando con mathematica si ottiene che questo integrale diverge ,quindi va bene il mio ragionamento. tuttavia ho provato a calcolarlo con i residui e mi viene zero. consideriamo il seguente integrale complesso sul solito cammino di integrazione a forma di goniometro
$int (1-e^(2iz))/z=0$ per il teorema dei residui poi spezzo l'integrale in quattro integrali (2 sull'asse x ,uno sul cerchio grande (che fa zero per il lemma di jordan),uno sul cerchio piccolo (che fa 0 per il noto lemma dia rco di cerchio piccolo)) dove erro?
Mannaggia a questi residui. Scordateli per un attimo! Invece di applicare tecniche generali di calcolo, ragiona sul grafico di $|frac{sin x}{x}|$, anche solo sul semiasse reale positivo (poi il resto segue per simmetria):
[asvg]ymin=0; ymax=1; xmin=0; xmax=7*Math.PI; axes(); plot("abs(sin(x)/x)");[/asvg]
Cerca di stimare l'area di quelle conchette positive. Se non ricordo male l'area dell'$n$-esima conchetta va a 0 come $1/n$, dunque $int_0^c|frac{sinx}{x}|\, "d"x$ ha lo stesso comportamento di $sum_{n=1}^\infty 1/n$. Prova a sviluppare questa idea.
[asvg]ymin=0; ymax=1; xmin=0; xmax=7*Math.PI; axes(); plot("abs(sin(x)/x)");[/asvg]
Cerca di stimare l'area di quelle conchette positive. Se non ricordo male l'area dell'$n$-esima conchetta va a 0 come $1/n$, dunque $int_0^c|frac{sinx}{x}|\, "d"x$ ha lo stesso comportamento di $sum_{n=1}^\infty 1/n$. Prova a sviluppare questa idea.
Il fatto che [tex]$f(x)=\tfrac{\sin x}{x}$[/tex] non sia assolutamente integrabile si dimostra minorando l'integrale con una serie armonica.
Il terzo vertice del triangolo non dovrebbe essere $((k+1)\pi,0)$ invece di $((k+1)\epsilon ,0)$?Se si prende come vertice quello che ho scritto io l'area diventa
$1/(2k+1)$ che da infinito quindi il tutto è risolto.però adesso non capisco perchè non riesco a calcolare $int_{0}^{\infty}(1-cos(2x))/(2x) dx$con i residui?
grazie mille comunque a entrambi
$1/(2k+1)$ che da infinito quindi il tutto è risolto.però adesso non capisco perchè non riesco a calcolare $int_{0}^{\infty}(1-cos(2x))/(2x) dx$con i residui?
grazie mille comunque a entrambi
Forse stai calcolando $lim_{c \to \infty}int_{-c}^c\frac{1-cos(2x)}{2x}dx$. Tieni conto che i metodi basati sui residui non ti fanno calcolare i "veri" integrali, ma solo i loro valori principali, quindi possono capitare scherzi come questo.
@baldo89: Sisi, errore di battitura mio; ora correggo. E la tua conclusione è esatta.
Per quanto riguarda l'altro integrale, esso è uguale a quello del seno; quindi che bisogno hai di calcolarlo esplicitamente?
Per quanto riguarda l'altro integrale, esso è uguale a quello del seno; quindi che bisogno hai di calcolarlo esplicitamente?
perchè dici che è uguale a quello del seno? l'integrale se mai è uguale a $int_{0}^{\infty}(sin^2(x))/x$ mathematica mi dice che diverge ma io non riesco a dimostrarlo con i residui, tutto qua!
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