Assoluta continuità integrale Lebesgue

[melusina89]

Ciao a tutti, ho un problema con l'assoluta continuità dell'integrale di Lebesgue o forse non mi è per niente chiaro cosa significhi che una proprietà valga uniformemente rispetto a un parametro. Vi enuncio un risultato sull'assoluta continuità e la relativa dimostrazione fatta dal prof in aula.

Sia $(X, M, \mu)$ uno spazio di misura; sia ${f_n}_n$ una successione di funzioni tali che $f_n in L^1 AA n$ e supponiamo che $f_n \rightarrow f$ in $L^1$. Allora la condizione di assoluta continuità dell'integrale vale uniformemente rispetto a $n in NN$, cioè
$AA \epsilon > 0 EE \delta > 0 : AA E in M$ con $\mu(E)< \delta$ si ha che $\int_E|f_n|d\mu <= \epsilon AA n in NN$.
DIMOSTRAZIONE
Da $f_n \rightarrow f$ in $L^1$ segue che $f in L^1$; inoltre si osservi che $|f_n| <= |f| + |f_n - f|$; allora posso dire che $AA \epsilon > 0 EE \delta > 0 : AA E in M : \mu(E) < \delta$ risulta $\int_E|f_n|d\mu<=\int_E|f|d\mu + \int_E|f_n - f|d\mu <= \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon$.
Infatti da $f in L^1$ deriva che $\int_E|f|d\mu < \epsilon/2$, mentre dal fatto che $f_n$ $\rightarrow$ $f$ in $L^1$ si ha che $\int_E|f_n-f|d\mu<=\int_X|f_n-f|d\mu\rightarrow 0$ per $n \rightarrow oo$ cioè $\int_E|f_n-f|d\mu <= \epsilon/2$ per $n$ sufficientemente grande.

Ora mi chiedo: la dimostrazione è corretta? Passando al limite non sto dimostrando che l'assoluta continuità vale uniformemente solo da un certo $n$ in poi? Non va dimostrata anche per $n$ piccolo?
Scusatemi ma queste cose mi confondono.

[gugo82]

Se ogni $f_n$ è in $L^1$, gli integrali $E\mapsto \int_E |f_n|\text{d} \mu$ sono tutti assolutamente continui.
Ragionando come hai fatto, fissato $\epsilon >0$, hai che esiste $\delta_f >0$ tale che:
\[
\mu (E)<\delta_f \quad \Rightarrow \quad \forall n> \nu,\ \int_E |f_n|\ \text{d} \mu < \epsilon\; ;
\]
d'altra parte, per ogni $n=1,\ldots ,\nu$ esiste $\delta_{f_n} >0$ tale che:
\[
\mu (E)<\delta_{f_n} \quad \Rightarrow \quad \int_E |f_n|\ \text{d} \mu < \epsilon\; ;
\]
prendendo $\delta= \min \{\delta_f , \delta_{f_1},\ldots ,\delta_{f_\nu}\}$ è evidente che le precedenti implicazioni valgono per ogni $n\in \NN$.

[melusina89]

Ah ok, ora mi è tutto chiaro! Grazie mille, sei stato gentilissimo!