Assoluta continuità
Ciao a tutti,
in mio possesso ho la seguente definizione di continuità assoluta:
Una funzione \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) è detta assolutamente continua in \( [a,b] \) se soddisfa le seguenti condizioni:
(1) \( f \) è differenziabile q.o.;
(2) \( f' \) è integrabile secondo Lebesgue in \( [a,b] \);
(3) Per ogni \( x \in [a,b] \), \( f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\, \text{d}t \).
Quel che mi domando è se sia possibile estendere questa definizione nei seguenti modi:
(a) Per funzioni \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{C} \);
(b) Per funzioni \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \);
(c) Combinazioni di (a) e (b).
Chi mi sa dire?
in mio possesso ho la seguente definizione di continuità assoluta:
Una funzione \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) è detta assolutamente continua in \( [a,b] \) se soddisfa le seguenti condizioni:
(1) \( f \) è differenziabile q.o.;
(2) \( f' \) è integrabile secondo Lebesgue in \( [a,b] \);
(3) Per ogni \( x \in [a,b] \), \( f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\, \text{d}t \).
Quel che mi domando è se sia possibile estendere questa definizione nei seguenti modi:
(a) Per funzioni \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{C} \);
(b) Per funzioni \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \);
(c) Combinazioni di (a) e (b).
Chi mi sa dire?
Risposte
"Riccardo Desimini":
Quel che mi domando è se sia possibile estendere questa definizione nei seguenti modi:
(a) Per funzioni \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{C} \);
(b) Per funzioni \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \);
(c) Combinazioni di (a) e (b).
(a) Sì.
(b) Sì; in questo caso, si può richiedere che \(f'\) sia solo localmente integrabile.
(c) Sì.
Nel caso (b), se \(f'\) è localmente integrabile, si parla di funzioni localmente assolutamente continue.
Ti ringrazio Rigel. Ecco gli enunciati modificati:
(a) Una funzione \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{C} \) è detta assolutamente continua in \( [a,b] \) se soddisfa le seguenti condizioni:
(1) \( f \) è differenziabile q.o.;
(2) \( f' \) è integrabile secondo Lebesgue in \( [a,b] \);
(3) Per ogni \( x \in [a,b] \), \( f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\, \text{d}t \).
(b) Una funzione \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) è detta assolutamente continua su \( \mathbb{R} \) se soddisfa le seguenti condizioni:
(1) \( f \) è differenziabile q.o.;
(2) \( f' \) è integrabile secondo Lebesgue su \( \mathbb{R} \);
(3) Per ogni \( x \in \mathbb{R} \), \( f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\, \text{d}t \).
Ho capito bene?
Infine, per il caso "localmente assolutamente continua":
(b*) Una funzione \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) è detta localmente assolutamente continua su \( \mathbb{R} \) se soddisfa le seguenti condizioni:
(1) \( f \) è differenziabile q.o.;
(2) \( f' \) è integrabile secondo Lebesgue su qualsiasi intervallo limitato di \( \mathbb{R} \);
(3) Per ogni \( x \in \mathbb{R} \), \( f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\, \text{d}t \).
(a) Una funzione \( f : [a,b] \rightarrow \mathbb{C} \) è detta assolutamente continua in \( [a,b] \) se soddisfa le seguenti condizioni:
(1) \( f \) è differenziabile q.o.;
(2) \( f' \) è integrabile secondo Lebesgue in \( [a,b] \);
(3) Per ogni \( x \in [a,b] \), \( f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\, \text{d}t \).
(b) Una funzione \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) è detta assolutamente continua su \( \mathbb{R} \) se soddisfa le seguenti condizioni:
(1) \( f \) è differenziabile q.o.;
(2) \( f' \) è integrabile secondo Lebesgue su \( \mathbb{R} \);
(3) Per ogni \( x \in \mathbb{R} \), \( f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\, \text{d}t \).
Ho capito bene?
Infine, per il caso "localmente assolutamente continua":
(b*) Una funzione \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) è detta localmente assolutamente continua su \( \mathbb{R} \) se soddisfa le seguenti condizioni:
(1) \( f \) è differenziabile q.o.;
(2) \( f' \) è integrabile secondo Lebesgue su qualsiasi intervallo limitato di \( \mathbb{R} \);
(3) Per ogni \( x \in \mathbb{R} \), \( f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\, \text{d}t \).
Sì, direi che va bene.
L'unica precisazione riguarda la definizione: di norma, la definizione di assoluta continuità viene data in diverso modo, e quella da te riportata è una caratterizzazione delle funzioni assolutamente continua.
L'unica precisazione riguarda la definizione: di norma, la definizione di assoluta continuità viene data in diverso modo, e quella da te riportata è una caratterizzazione delle funzioni assolutamente continua.
Ok grazie.
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