Asintoti studio di funzione
Buongiorno a tutti! Anche stamattina sono qui a chiedere aiuto 
Sto studiando la seguente funzione:
$sqrt(log_(1/2)^2cosx-1)$
il C.E. della funzione è:
$\pi/3<=x<\pi/2$ e $3/2\pi
Ora dovendo studiare gli asintoti, devo calcolare:
$\lim_{x\to(\pi/2)^+}sqrt(log_(1/2)^2cosx-1)$
e
$\lim_{x\to(3/2\pi)^-}sqrt(log_(1/2)^2cosx-1)$
Partendo dal primo limite, considerando $(\pi/2)^+$ come una quantità appena più grande di $\pi/2$ suppongo che il $cosx$ tenda a $0^-$
Il logaritmo, invece, direi che tende a $+\infty$ poichè avendo la base <1 , al crescere dell'esponente, l'argomento diventa sempre più piccolo e quindi tende a zero (anche se a zero non ci arriva mai). Quindi io direi che questo limite è uguale a $+\infty$.
Analogo discorso per il secondo limite .
Secondo il mio ragionamento, dunque, ci sarebbero due asintoti verticali.
Però mi rendo conto anche che il logaritmo è definito solo quando il suo argomento è $>0$ e quindi per $0^+$ e $0^-$ non sarebbe definito. Tuttavia, trattandosi di limiti si parla di "tendenza" e magari ci potrebbe stare(?).
Quindi chiedo a voi esperti:
Che ragionamento va fatto? Chiedo scusa se ho scritto qualche blasfemia... almeno ci ho provato
Grazie mille
Sto studiando la seguente funzione:
$sqrt(log_(1/2)^2cosx-1)$
il C.E. della funzione è:
$\pi/3<=x<\pi/2$ e $3/2\pi
Ora dovendo studiare gli asintoti, devo calcolare:
$\lim_{x\to(\pi/2)^+}sqrt(log_(1/2)^2cosx-1)$
e
$\lim_{x\to(3/2\pi)^-}sqrt(log_(1/2)^2cosx-1)$
Partendo dal primo limite, considerando $(\pi/2)^+$ come una quantità appena più grande di $\pi/2$ suppongo che il $cosx$ tenda a $0^-$
Il logaritmo, invece, direi che tende a $+\infty$ poichè avendo la base <1 , al crescere dell'esponente, l'argomento diventa sempre più piccolo e quindi tende a zero (anche se a zero non ci arriva mai). Quindi io direi che questo limite è uguale a $+\infty$.
Analogo discorso per il secondo limite .
Secondo il mio ragionamento, dunque, ci sarebbero due asintoti verticali.
Però mi rendo conto anche che il logaritmo è definito solo quando il suo argomento è $>0$ e quindi per $0^+$ e $0^-$ non sarebbe definito. Tuttavia, trattandosi di limiti si parla di "tendenza" e magari ci potrebbe stare(?).
Quindi chiedo a voi esperti:
Che ragionamento va fatto? Chiedo scusa se ho scritto qualche blasfemia... almeno ci ho provato
Grazie mille
Risposte
Ciao steppox, 
. Quando hai un logaritmo non in base canonica, ti consiglio di trasformarlo in base $e$ con le formule dei logaritmi: $log_{a}c=ln c/ln a$. Ti dovrebbe risultare più chiaro anche i valori dei limiti.
. Quando hai un logaritmo non in base canonica, ti consiglio di trasformarlo in base $e$ con le formule dei logaritmi: $log_{a}c=ln c/ln a$. Ti dovrebbe risultare più chiaro anche i valori dei limiti.
Fuori dal CE i limiti non hanno alcun senso: hai sbagliato i segnetti, invertendo limiti destri/sinistri.
Ciao
B.
Ciao
B.
"HaldoSax":
Ciao steppox,
Ciao HaldoSax e come sempre grazie della disponibilità. Allora vediamo un pò:
$\lim_{x\to(\pi/2)^+}sqrt(log_(1/2)^2cosx-1)$
lo riscrivo come:
$\lim_{x\to(\pi/2)^+}sqrt(ln^2cosx/ln^2(1/2)-1)$
Al denominatore $ln(1/2)$ è una quantità negativa, ma visto che il $ln$ è elevato al quadrato diventa positiva.
Al numeratore invece, seguendo il mio ragionamento del primo messaggio, il $cosx$ tende a $0^-$ e quindi il log, avendo base $e>1$ tende a $-\infty$ e poichè c'è il quadrato, diventa $+\infty$
Stesso ragionamento per l'altro limite.
Quindi anche in questo modo, ci sarebbero due asintoti verticali.
Ho verificato con un programma che disegna il grafico di funzione ed effettivamente i due asintoti ci sono, ma a parte questo il ragionamento è corretto?
"orsoulx":
Fuori dal CE i limiti non hanno alcun senso: hai sbagliato i segnetti, invertendo limiti destri/sinistri.
Ciao
B.
Ciao e grazie mille della risposta!
Allora correggendo i limiti avrei:
$\lim_{x\to(\pi/2)^-}sqrt(log_(1/2)^2cosx-1)$
e
$\lim_{x\to(3/2\pi)^+}sqrt(log_(1/2)^2cosx-1)$
Quindi il mio ragionamento sarebbe lo stesso di prima con la sola differenza che il $cos$ tende a $0^+$ e non a $0^-$.
Il risultato (sempre stando al mio ragionamento) sarebbe sempre uguale a $+\infty$ per entrambi i limiti e dunque avrei due asintoti verticali. Purtroppo la mia perplessità resta sempre la stessa: il ragionamento è corretto?
Grazie in anticipo
Il ragionamento è corretto,
Tu hai $\lim_{x \to (\pi/2)^-}cosx$, vale a dire ti stai avvicinando da sinistra, quindi un valore leggermente più piccolo. quindi $\lim_{x \to (\pi/2)^-}cosx=0^+$.
$\lim_{x \to (3/2\pi)^+}cosx$, vale a dire ti stai avvicinando da destra, quindi un valore leggermente più grande. quindi $\lim_{x \to (3/2\pi)^+}cosx=0^+$.
Tu hai $\lim_{x \to (\pi/2)^-}cosx$, vale a dire ti stai avvicinando da sinistra, quindi un valore leggermente più piccolo. quindi $\lim_{x \to (\pi/2)^-}cosx=0^+$.
$\lim_{x \to (3/2\pi)^+}cosx$, vale a dire ti stai avvicinando da destra, quindi un valore leggermente più grande. quindi $\lim_{x \to (3/2\pi)^+}cosx=0^+$.
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