Asintoti nella funzione integrale.
Ciao a tutti raga allora vi espongo la mia nuova funzione intagrale: $F(x)=(int_(x)^(x+1) e^(-sqrt(t))dt )-x$ ho calcolato anche la derivata; che risulta essere:
$F'(x)=e^(-sqrt(x+1))-e^(-sqrt(x))-1<0$ che risulta essere sempre negativa.Potreste spiegarmi come calcolare l'asintoto orzzontale e obbliquo?
Perchè nella soluzione del compito il mio prof quando si calcola il limite fa direttamente: $lim_(x->+\infty) -e^(-sqrt(x))-x$ e nn capisco il motivo quando secondo me dovrebbe risolvere il seguente limite: $lim_(x->+\infty)(int_(x)^(x+1) e^(-sqrt(t))dt )-lim_(x->infty)x$ e il primo dovrebbe essere un integrale improprio.Nn riesco a capire il motivo per cui lo calcola in quel modo.
E lo stesso fa anche quando si calcola l'asintoto obbliquo: $lim_(x->+\infty) (-e^(-sqrt(x))-x)/x$.Nn sto riuscendo a capire perchè fa così?
$F'(x)=e^(-sqrt(x+1))-e^(-sqrt(x))-1<0$ che risulta essere sempre negativa.Potreste spiegarmi come calcolare l'asintoto orzzontale e obbliquo?
Perchè nella soluzione del compito il mio prof quando si calcola il limite fa direttamente: $lim_(x->+\infty) -e^(-sqrt(x))-x$ e nn capisco il motivo quando secondo me dovrebbe risolvere il seguente limite: $lim_(x->+\infty)(int_(x)^(x+1) e^(-sqrt(t))dt )-lim_(x->infty)x$ e il primo dovrebbe essere un integrale improprio.Nn riesco a capire il motivo per cui lo calcola in quel modo.
E lo stesso fa anche quando si calcola l'asintoto obbliquo: $lim_(x->+\infty) (-e^(-sqrt(x))-x)/x$.Nn sto riuscendo a capire perchè fa così?
Risposte
Mmm a occhio il tuo ragionamento fila.
Vediamo, prima di tutto bisogna farre il limite di $F(x)$ per $x\to +\infty$.
Per questo, secondo me, conviene spezzare $F(x)=\int_0^{x+1}e^{-\sqrt{t}}dt-\int_0^{x}e^{-\sqrt{t}}dt-x=F_1(x+1)-F_1(x)-x$.
Dato che l'integrale improprio all'infinito e' convergente si ha $F_1(x+1)\to\int_0^{+\infty}e^{-\sqrt{t}}dt$ e anche $F_1(x)\to\int_0^{+\infty}e^{-\sqrt{t}}dt$ da cui
$F_1(x+1)-F_1(x)\to0$.
Dunque $F(x)\to -\infty$. Per vedere se c'e' un asintoto obliquo puoi allora troavrne il coefficiente angolare facendo il limite all'infinito di $F'(x)$ che, usando i tuoi calcoli
dovrebbe venire $-1$ e poi l'intercetta calcolando il limite di $F(x)+x$ che dovrebbe dare $0$.
Non so che dirti, a me viene cosi'
Forse il calcolo del prof. e' per trovare il coeff. angolare dell'asintoto, per cui a rigore serve il limite di $\frac{F(x)}{ x}$ - se applichi l'Hospital passi al limite di $F'$
Vediamo, prima di tutto bisogna farre il limite di $F(x)$ per $x\to +\infty$.
Per questo, secondo me, conviene spezzare $F(x)=\int_0^{x+1}e^{-\sqrt{t}}dt-\int_0^{x}e^{-\sqrt{t}}dt-x=F_1(x+1)-F_1(x)-x$.
Dato che l'integrale improprio all'infinito e' convergente si ha $F_1(x+1)\to\int_0^{+\infty}e^{-\sqrt{t}}dt$ e anche $F_1(x)\to\int_0^{+\infty}e^{-\sqrt{t}}dt$ da cui
$F_1(x+1)-F_1(x)\to0$.
Dunque $F(x)\to -\infty$. Per vedere se c'e' un asintoto obliquo puoi allora troavrne il coefficiente angolare facendo il limite all'infinito di $F'(x)$ che, usando i tuoi calcoli
dovrebbe venire $-1$ e poi l'intercetta calcolando il limite di $F(x)+x$ che dovrebbe dare $0$.
Non so che dirti, a me viene cosi'
Forse il calcolo del prof. e' per trovare il coeff. angolare dell'asintoto, per cui a rigore serve il limite di $\frac{F(x)}{ x}$ - se applichi l'Hospital passi al limite di $F'$
Scusa potresti spiegarmi meglio questa storia dell'asintoto obbliquo e del coefficiente angolare? Io avrei applicato la normale definizione di asintoto obbliquo e quindi avrei fatto:$m=lim_(x->+\infty)((int_(x)^(x+1) e^(-sqrt(t))dt)/x-1)$ e quindi mi sarebbe venuto tutto più complicato.Cmq i risultati che tu hai trovato sn corretti.Xò se mi daresti un chiarimento ti sarei grato.
Tra il limite che dici tu (che effettivamente e' quello che si deve trovare) e il conto che ho fatto io c'e' semplicemente il teorma dell' Hospital dato che
$lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)-x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{F'(x)-1}{1}=-1$.
Pero' questo calcolo e' abbastanza inutile: se $F(x)\to0$ e' ovvio che $\frac{F(x)}{x}\to0$ da segue facilmente tutto.
$lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)-x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{F'(x)-1}{1}=-1$.
Pero' questo calcolo e' abbastanza inutile: se $F(x)\to0$ e' ovvio che $\frac{F(x)}{x}\to0$ da segue facilmente tutto.
Quindi praticamente tu hai applicato il teo di de l'hopital.scusa un'ultima cosa; potresti spiegarmi perchè: $lim_(x->+infty) F(x)=0$ allora io ho ragionato così per $x->+\infty$ avrò che la funzione $F(x)$ sarà: $lim_(x->+\infty)int_(x)^(x+1) e^(-sqrt(t))dt - lim_(x->+\infty) x$; ora il secondo limite tende a $+\infty$.
Invece per risolvere il primo devo ricorrere agli integrali impropri.e quindi ai criteri di convergenza.Per vedere se esiste finoto o no.
Invece per risolvere il primo devo ricorrere agli integrali impropri.e quindi ai criteri di convergenza.Per vedere se esiste finoto o no.
"identikit_man":
Quindi praticamente tu hai applicato il teo di de l'hopital.scusa un'ultima cosa; potresti spiegarmi perchè: $lim_(x->+infty) F(x)=0$ allora io ho ragionato così per $x->+\infty$ avrò che la funzione $F(x)$ sarà: $lim_(x->+\infty)int_(x)^(x+1) e^(-sqrt(t))dt - lim_(x->+\infty) x$; ora il secondo limite tende a $+\infty$.
Invece per risolvere il primo devo ricorrere agli integrali impropri.e quindi ai criteri di convergenza.Per vedere se esiste finoto o no.
Scusami a un certo punto ho cambiato notazione e ho pensato che $F(x)$ fosse solo l'integrale. Per trattare il limite dell'integrale la cosa migiore mi sembra spezzarlo in due
integrali, ognuno dei quali con l'estremo inferiore fisso (per esempio $0$) - quelli che ho chiamato $F_1$ e $F_2$ nell'altro post. Dato che l'integrale improprio converge si ha
che $F_1$ e $F_2$ tendono a un medesimo limite finito e quindi la loro differenza (quella che io avevo chiamato $F$) tende a zero.
Una volta che il pezzo integrale tende a zero e' abbastanza evidente che la funzione complessiva (essendo il pezzo integrale meno $x$) ha la retta $y=-x$ come asintoto obliquo.
Scusami di nuovo se ti ho creato confusione con quella mia $F$ diversa dalla tua
Ma il tutto ti è risultato più facile in quando hai suddiviso l'integrale.Io nn ci avrei mai pensato di farlo. Infatti nn riuscivo a capire come calcolare l'integrale improprio: $lim_(x->+\infty) int_(+\infty)^(+\infty+1)$ (scusa se all'estremo superiore ho scritto una cosa orribile; ma è per farti capire).
"identikit_man":
Ma il tutto ti è risultato più facile in quando hai suddiviso l'integrale.Io nn ci avrei mai pensato di farlo. Infatti nn riuscivo a capire come calcolare l'integrale improprio: $lim_(x->+\infty) int_(+\infty)^(+\infty+1)$ (scusa se all'estremo superiore ho scritto una cosa orribile; ma è per farti capire).
Chiarissima la cosa orribile.
Beh sono contento di esserti servito (e tieni presente il metodo che puo' esserti utile in altre situazioni).
Per curiosita' come facevi a calcolare la derivata di quella funzione integrale senza spezzarla in due ?
allora per calcolare la derivata io ho ragionato così: La derivata di $F(x)$ consiste nella derivata di $[F(x+1)-F(x)]$ (che rapresenta praticamente il valore dell'integrale); quindi per fare questa derivata conosco la derivata di F(x) e quindi faccio: $F'(x)= f'(x+1)-f'(x)$ dove $f'x)$ tu come avresti ragionato?
Scusa io alla fine sn giunto al risultato grazie 1000.Però nn sto riuscendo a capire xkè il mio prof per calcola l'asintoto obbliquo fa: $m=lim_(x->+\infty) (-e^(-sqrt(x))-x)/(x)=-1$ e nn lo calcola con la formula $m=lim_(x->+\infty)((int_(x)^(x+1) e^(-sqrt(t))dt)/x-1)$?Potresti spiegarmelo; xkè lo vorrei capire.
"identikit_man":
Scusa io alla fine sn giunto al risultato grazie 1000.Però nn sto riuscendo a capire xkè il mio prof per calcola l'asintoto obbliquo fa: $m=lim_(x->+\infty) (-e^(-sqrt(x))-x)/(x)=-1$ e nn lo calcola con la formula $m=lim_(x->+\infty)((int_(x)^(x+1) e^(-sqrt(t))dt)/x-1)$?Potresti spiegarmelo; xkè lo vorrei capire.
Francamente non capisco neanche io (quello che avevo ipotizzato qualche post fa non mi pare stia in piedi). Secondo me' c'e' una svista nella correzione
(cosa possibile, capita a tutti).
Ci sarebbe per la verita' una mezza giustificazione dato che effettivamente $G(x)=\int_{x}^{x+1}e^{-\sqrt{t}}dt$ e' all'incirca $e^{-\sqrt{x}}$ per esempio
puoi scrivere $e^{-\sqrt{x+1}}\leq G(x)leq e^{-\sqrt{x}}$ , dato che se $x\leq t\leq x+1$ si ha $e^{-\sqrt{x+1}}\leq e^{-\sqrt{t}}\leq e^{-\sqrt{x}}$, che integrata tra $x$ e $x+1$ ti da' la disuguaglianza indicata.
Usando questa disuguaglianza potresti mettere $e^{-\sqrt{x+1}}$ /$e^{-\sqrt{x}}$
al posto di $G(x)$ nel limite e dato che alla fine viene sempre $-1$ hai trovato il limite richiesto.
Pero' questa strada mi pare troppo complicata e comunque c'e' un segno meno che non torna (anche se il risultato poi segue lo stesso).
Se fossi in te chiederei spiegazioni al prof. (ammesso che ci sia tempo per farlo)
Ok grazie 1000; chiederò al prof.E ti farò sapere.
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