Area regione del piano
Ciao a tutti,
devo fare questo esercizio ma, negli appunti, non trovo alcun esempio
potete spiegarmi il procedimento? grazie
"Calcolare l'area della regione del piano delimitata dalla curva $y=x^4$, la retta $y=7$ e l'asse delle y."
Sinceramente non so da dove iniziare.
grazie
devo fare questo esercizio ma, negli appunti, non trovo alcun esempio
potete spiegarmi il procedimento? grazie
"Calcolare l'area della regione del piano delimitata dalla curva $y=x^4$, la retta $y=7$ e l'asse delle y."
Sinceramente non so da dove iniziare.
grazie
Risposte
Hai provato a disegnare su un grafico il tuo problema?
Sai cos'è un integrale definito?!
Sai cos'è un integrale definito?!
"Lorin":
Hai provato a disegnare su un grafico il tuo problema?
Sai cos'è un integrale definito?!
no, non ho provato a disegnarla, e sì, so cos'è un integrale definito e so anche calcolarlo .
Segui la definizione di integrale definito, fai il disegno del problema e vedi che la soluzione comparirà subito...
La situazione è questa:
http://yfrog.com/h35aou8j
ma sinceramente non riesco ad impostare l'integrale...
http://yfrog.com/h35aou8j
ma sinceramente non riesco ad impostare l'integrale...
iniziamo col capire chi sono gli estremi e dove si trova la parte di piano di cui dobbiamo trovare l'area...
non ho la più pallida idea di come si possano trovare questi dati. Cioè forse lo so nel senso che la teoria di quest parte l'ho studiata qualche giorno ma non essendoci esempi dimostrativi non so applicarla. qualche indizio?
Prima cosa da fare è fare un disegno della situazione in cui ci troviamo. Disegna $y=x^4$ , $y=7$ e l'asse delle ordinate; poi sfrutti il concetto di integrale definito.
ho allegato prima una foto dell'area. L'integrale definito mi determina l'area di sottostante una curva ma sinceramente non riesco a ricavare la funzione su cui calcolare l'integrale.
non ti dico di svolgermi l'esercizio, sennò non imparerei, ma almeno potresti darmi i passaggi che devo fare per questo genere di esercizi? ne ho da fare 4 e non vorrei starci fino alle 7 visto che devo iniziare il capitolo sulle curve ,e sembra discretamente pesante :/
dalla figura che hai allegato prima, dovresti capire prima di tutto quali sono gli estremi...se ci fai caso è un area che si "appoggia" sull'asse delle ordinate, quindi gli estremi sono $0$ e $7$...
ok, ho trovato questa discussione che spiega esattamente i passaggi.
calcolo-dell-area-della-regione-di-piano-con-integrale-t72320.html
provo a farlo con il mio esercizio, dopo lo posto così nel caso mi puoi dire se ho fatto bene? grazie.
calcolo-dell-area-della-regione-di-piano-con-integrale-t72320.html
provo a farlo con il mio esercizio, dopo lo posto così nel caso mi puoi dire se ho fatto bene? grazie.
va bene!
Dunque innanzi tutto ho calcolato l'intersezione della prima funzione con l'asse x, per avere le coordinate. dunque per
$ { ( y=x^4 ),( x=0 ) :} $ $ rarr $ $ { ( y=0 ),( x=0 ) :} $
e poi ho intersecato la funzione con l'altra la retta $y=7$ per avere l'altra intersezione
$ { ( y=x^4 ),( y=7) :} $ $ rarr $ $ { ( y=root(4)(7) ),( y=7 ) :} $
A questo punto ho i due punti: $A=(0,0)$ e $B=( root(4)(7), 7) $
A questo punto devo fare l'integrale, però non capisco come mai (questo lo vedo dalla soluzione che è stata pubblicata e da quell'esempio che ho postato prima) si debba mettere:
$ int_(0)^(root(4)(7)) 7-x^4 $
invece di
$ int_(0)^(root(4)(7)) x^4 -7 $
$ { ( y=x^4 ),( x=0 ) :} $ $ rarr $ $ { ( y=0 ),( x=0 ) :} $
e poi ho intersecato la funzione con l'altra la retta $y=7$ per avere l'altra intersezione
$ { ( y=x^4 ),( y=7) :} $ $ rarr $ $ { ( y=root(4)(7) ),( y=7 ) :} $
A questo punto ho i due punti: $A=(0,0)$ e $B=( root(4)(7), 7) $
A questo punto devo fare l'integrale, però non capisco come mai (questo lo vedo dalla soluzione che è stata pubblicata e da quell'esempio che ho postato prima) si debba mettere:
$ int_(0)^(root(4)(7)) 7-x^4 $
invece di
$ int_(0)^(root(4)(7)) x^4 -7 $
guarda io avrei fatto così:
Dato che l'area della funzione è la parte di piano compresa tra la retta $y=7$ e l'asse delle ordinate, è evidente che per area si intende, in questo caso, la parte di piano che ha per estremi $0$ e $7$ e che è compresa tra la curva e l'asse delle ordinate. Quindi da $y=x^4$ bisogna ricavare la x in funzione di y, cioè $y=x^4 => x=root(4)(y)$, quindi l'integrale sarà:
$int_{0}^{7}root(4)(y)dy$
Dato che l'area della funzione è la parte di piano compresa tra la retta $y=7$ e l'asse delle ordinate, è evidente che per area si intende, in questo caso, la parte di piano che ha per estremi $0$ e $7$ e che è compresa tra la curva e l'asse delle ordinate. Quindi da $y=x^4$ bisogna ricavare la x in funzione di y, cioè $y=x^4 => x=root(4)(y)$, quindi l'integrale sarà:
$int_{0}^{7}root(4)(y)dy$
"Lorin":
guarda io avrei fatto così:
Dato che l'area della funzione è la parte di piano compresa tra la retta $y=7$ e l'asse delle ordinate, è evidente che per area si intende, in questo caso, la parte di piano che ha per estremi $0$ e $7$ e che è compresa tra la curva e l'asse delle ordinate. Quindi da $y=x^4$ bisogna ricavare la x in funzione di y, cioè $y=x^4 => x=root(4)(y)$, quindi l'integrale sarà:
$int_{0}^{7}root(4)(y)dy$
e allora perché il mio prof. ha messo l'altra soluzione?
Ci sono vari modi per svolgere questo esercizio, io uso questo che ti ho postato...
Quello che hai postato tu prima non l'ho ben capito...cioè non capisco perchè mette come funzione integranda $x^4-7$. Comunque questi sono esercizi che trovi anche su un libro del liceo...e lo svolgimento è questo...si cambia la variabile a seconda della posizione dell'area da calcolare e in dipendenza anche dall'asse dove si trova l'area da calcolare. Ma come ti ho detto prima ci sono anche altri metodi.
Quello che hai postato tu prima non l'ho ben capito...cioè non capisco perchè mette come funzione integranda $x^4-7$. Comunque questi sono esercizi che trovi anche su un libro del liceo...e lo svolgimento è questo...si cambia la variabile a seconda della posizione dell'area da calcolare e in dipendenza anche dall'asse dove si trova l'area da calcolare. Ma come ti ho detto prima ci sono anche altri metodi.
Credo che l'integrale sia svolto come un integrale doppio: dalle intersezioni che hai trovato, il dominio di cui calcolare l'area risulta il seguente
[tex]$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 0\le x\le\sqrt[4]{7},\ x^4\le y\le 7\}$[/tex]
ne segue che l'integrale risulta
[tex]$\iint_D\ dx\ dy=\int_0^{\sqrt[4]{7}}\left(\int_{x^4}^7\ dy\right)\ dx=\int_0^{\sqrt[4]{7}}(7-x^4)\ dx=...$[/tex]
eccetera.
@lorin: ma sei sicuro di quello che hai scritto? Io mica tanto.
[tex]$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ :\ 0\le x\le\sqrt[4]{7},\ x^4\le y\le 7\}$[/tex]
ne segue che l'integrale risulta
[tex]$\iint_D\ dx\ dy=\int_0^{\sqrt[4]{7}}\left(\int_{x^4}^7\ dy\right)\ dx=\int_0^{\sqrt[4]{7}}(7-x^4)\ dx=...$[/tex]
eccetera.
@lorin: ma sei sicuro di quello che hai scritto? Io mica tanto.
Scusami ciampax ma l'area da calcolare non è quella compresa tra l'asse delle ordinate e la curva? 
No, è quella dentro.
quella quindi compresa tra $0$ e $root(4)(7)$?
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