Area di un insieme

[milanistamalato]

Ciao devo calcolare l'aera dell'insieme definito in coordinate polari : $rho^2=sen^2(2theta)$ con $theta in [0,2pi]$. Il mio problema è come ottenere gli estremi di $rho$ perchè la formula da applicare so che è, in questo caso, $int rho d rho d theta$
Un aiutino? thanks

[kamal1]

hai $\rho^2$=$sin^2(2\theta)$ quindi $2\rhod\rho$=$4cos(2\theta)sin(2\theta)d\theta$=$sin(4\theta)d\theta$
quindi $int\rhod\rhod\theta$=$int\rhod\rho$$int_0^(2pi)d\theta$=$2piint_0^(2pi)sin(4\theta)d\theta $=$2pi 1/4[cos(0)-cos(8pi)]$=0

[DMNQ]

"milanistamalato":Ciao devo calcolare l'aera dell'insieme definito in coordinate polari : $rho^2=sen^2(2theta)$ con $theta in [0,2pi]$. Il mio problema è come ottenere gli estremi di $rho$ perchè la formula da applicare so che è, in questo caso, $int rho d rho d theta$
Un aiutino? thanks

Buon giorno .
Avrei fatto il calcolo in questo modo :
$ Aera = \frac{1}{2} int_{0}^{2pi} \rho^2 d\theta $
$ = \ frac{1}{2}int_{0}^{2pi} sen^2 (2\theta) d\theta$
$ = \ frac{1}{4}int_{0}^{2pi} ( 1 - cos(4\theta)) d\theta $
$ = \ frac{1}{4} [ \theta - \frac{ sen(4\theta)}{4} ]\|_0^{2pi}\ $
$= \frac{pi}{2} $

[milanistamalato]

"DMNQ":[quote="milanistamalato"]Ciao devo calcolare l'aera dell'insieme definito in coordinate polari : $rho^2=sen^2(2theta)$ con $theta in [0,2pi]$. Il mio problema è come ottenere gli estremi di $rho$ perchè la formula da applicare so che è, in questo caso, $int rho d rho d theta$
Un aiutino? thanks

Buon giorno .
Avrei fatto il calcolo in questo modo :
$ Aera = \frac{1}{2} int_{0}^{2pi} \rho^2 d\theta $
$ = \ frac{1}{2}int_{0}^{2pi} sen^2 (2\theta) d\theta$
$ = \ frac{1}{4}int_{0}^{2pi} ( 1 - cos(4\theta)) d\theta $
$ = \ frac{1}{4} [ \theta - \frac{ sen(4\theta)}{4} ]\|_0^{2pi}\ $
$= \frac{pi}{2} $[/quote]

grazie dell'aiuto ma ti volevo chiedere se questa formula $ Aera = \frac{1}{2} int_{0}^{2pi} \rho^2 d\theta $ è una formula standard

[DMNQ]

Penso che il teorema seguente è classico ( ) :
Se $ f : [\alpha,\beta] -> \RR $ è una funzione continua e positiva sull'intervallo $ [\alpha,\beta] $
con $ 0 <= \beta - \alpha <= 2\pi $ allora l'aera dell'insieme dei punti
$ M( r , \theta )$ in coordonnati polari con $ 0<=r<=f(\theta) $ e $ \alpha<=\theta<=\beta$
è $ Aera = \frac{1}{2} int_{\alpha }^{\beta} \( f(\theta))^2 d\theta $ .
Per capire questa formula si puo dire che $ \frac{1}{2} ( f(\theta))^2 d\theta $
è l'area d'un settore elementare del circolo di centro O e di raggio $ f(\theta) $ e $ int_{\alpha}^{\beta} $ fa la somma .
Ciao