Area di un dominio

[frapp1]

Data la curva piana parametrizzata da γ(t)=(t−2sint,sint) con t∈[0,$pi$], calcolare l'area del dominio piano D delimitato dall'asse delle ascisse e dal sostegno di γ.

Il processo di risoluzione prevede

con A e B gli estremi del tratto percorso sull'asse delle ascisse (rispettivamente A=γ(0), B=γ($pi$))

che svolgendo i calcoli equivale a


Quello che non mi è chiaro è quali passaggi logici stanno dietro al calcolo del primo integrale (quello tra A e B), che giustamente varrà 0.

Grazie a tutti

[ingres]

Sarebbe bene che scrivessi le formule. Le immagini dopo si perdono.

Comunque, se ho capito bene la domanda, il primo integrale si svolge lungo l'asse delle ascisse ovvero y=0 per cui l'integranda è y(x)=0 e il suo integrale è ovviamente nullo.

[pilloeffe]

Ciao frapp,

Intanto ti chiederei la cortesia di eliminare le immagini dall'OP perché ingres ha ragione:

"ingres":Sarebbe bene che scrivessi le formule. Le immagini dopo si perdono.

Basta scrivere le formule fra i simboli di dollaro, ti aiuto qui di seguito:

$\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (t - 2 sint, sint) $ con $t \in [0, \pi] $

$\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (t - 2 sint, sint) $ con $t \in [0, \pi] $

Per $t = 0 $ si ha il punto $A(x(0), y(0)) = A(0, 0) -= O(0, 0) $, mentre per $t = \pi $ si ha il punto $B(x(\pi), y(\pi)) = B(\pi, 0) $. Pertanto i due punti $A$ e $B$ sono sull'asse delle ascisse.

A questo punto, per calcolare l'area del dominio piano $D$ delimitato dall'asse delle ascisse e dal sostegno di $\gamma$ viene fatto uso di una delle formule di Gauss-Green nel piano:

$\text{area}(D) = - \int_{+\del D} y \text{d}x = - \int_{[AB]} y \text{d}x - \int_{\gamma} y \text{d}x $

$\text{area}(D) = - \int_{+\del D} y \text{d}x = - \int_{[AB]} y \text{d}x - \int_{\gamma} y \text{d}x $

"frapp":Quello che non mi è chiaro è quali passaggi logici stanno dietro al calcolo del primo integrale (quello tra A e B), che giustamente varrà 0.

$+\del D $, cioè il dominio del piano $D$ percorso positivamente, prevede di andare da $A -= O(0, 0) $ verso $B$ e poi da $B$ lungo $\gamma$ di nuovo verso $A -= O(0, 0) $: per renderti conto meglio della situazione puoi dare un'occhiata ad esempio qui. Pertanto si ha:

$ \text{area}(D) = - \int_{+\del D} y \text{d}x = - \int_{[AB]} y \text{d}x - \int_{\gamma} y \text{d}x = - \int_{[AB]} 0 \text{d}x - \int_{\pi}^0 sin t \cdot (1 - 2cos t) \text{d}t = $
$ = \int_0^{\pi} sin t \cdot (1 - 2cos t) \text{d}t = \int_0^{\pi} sin t \text{d}t - \int_0^{\pi} 2 sin t cos t \text{d}t = \int_0^{\pi} sin t \text{d}t - \int_0^{\pi} sin(2t) \text{d}t = $
$ = 2 - 0 = 2 $