Area dell'astroide

marta_l-votailprof
Altro esercizio di analisi II in preparazione del compitino...
Trovare l'area racchiusa dall'astroide:


Come faccio? :roll: con Gauss-Green?

Risposte
Luca.Lussardi
Beh, c'è la formula che ti dà l'area se hai la parametrizzazione , hai provato quella?

marta_l-votailprof
Sul mio libro non la trovo...saresti così gentile da scrivermala qui? mi dispiace, il capitolo curve e superfici mi sta facendo un po' dannare!

Luca.Lussardi
Forse hai ragione, è meglio Gauss-Green piano, non viene facile parametrizzando. Con Gauss-Green ti riduci all'integrale di linea di una $1$-forma.

marta_l-votailprof
Il problema è che non saprei come impostarlo con Gauss-Green, dovrei fare l'integrale sul bordo di $xdy$ gusto? ma cosa metto come estremi di integrazione?

Piera4
Nell'asteroide $0<=t<=2pi$.
Applicando Gauss-Green si ha
$Area=1/2int_gamma xdy-ydx=1/2int_0^(2pi)(3cos^4t*sen^2t+3sen^4t*cos^2t)dt=3/2int_0^(2pi)sen^2t*cos^2tdt=3/4int_0^(2pi)sen^2(2t)dt=3/8pi$.

marta_l-votailprof
Ohh...meno male! grazie mille! Adesso posso andare a fare il primo parziale! ;-)

marta_l-votailprof
Incredibile...oggi sono andata a fare il compitino di analisi II e il primo esercizio era proprio questo... :lol:
Poi però c'era da calcolare la lunghezza del perimetro e il volume generato dalla rotazione dall'astroide attorno l'asse delle ascisse.
Per la lunghezza nessuna difficoltà ma quel volume mi ha fatto dannare non poco, ho pensato di considerare solo la metà superiore e ho applicato il teorema di Pappo-Guldino facendogli fare un giro di 2pi.
Può funzionare?

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.