Area dell'astroide

[marta_l-votailprof]

Altro esercizio di analisi II in preparazione del compitino...
Trovare l'area racchiusa dall'astroide:


Come faccio? con Gauss-Green?

[Luca.Lussardi]

Beh, c'è la formula che ti dà l'area se hai la parametrizzazione , hai provato quella?

[marta_l-votailprof]

Sul mio libro non la trovo...saresti così gentile da scrivermala qui? mi dispiace, il capitolo curve e superfici mi sta facendo un po' dannare!

[Luca.Lussardi]

Forse hai ragione, è meglio Gauss-Green piano, non viene facile parametrizzando. Con Gauss-Green ti riduci all'integrale di linea di una $1$-forma.

[marta_l-votailprof]

Il problema è che non saprei come impostarlo con Gauss-Green, dovrei fare l'integrale sul bordo di $xdy$ gusto? ma cosa metto come estremi di integrazione?

[Piera4]

Nell'asteroide $0<=t<=2pi$.
Applicando Gauss-Green si ha
$Area=1/2int_gamma xdy-ydx=1/2int_0^(2pi)(3cos^4t*sen^2t+3sen^4t*cos^2t)dt=3/2int_0^(2pi)sen^2t*cos^2tdt=3/4int_0^(2pi)sen^2(2t)dt=3/8pi$.

[marta_l-votailprof]

Ohh...meno male! grazie mille! Adesso posso andare a fare il primo parziale!

[marta_l-votailprof]

Incredibile...oggi sono andata a fare il compitino di analisi II e il primo esercizio era proprio questo...
Poi però c'era da calcolare la lunghezza del perimetro e il volume generato dalla rotazione dall'astroide attorno l'asse delle ascisse.
Per la lunghezza nessuna difficoltà ma quel volume mi ha fatto dannare non poco, ho pensato di considerare solo la metà superiore e ho applicato il teorema di Pappo-Guldino facendogli fare un giro di 2pi.
Può funzionare?