Area del paraboloide

[cavallipurosangue]

Allora
Calcolare l'area della superficie del paraboloide di equazione $z=x^2+y^2$ al variare del punto $(x,y)$ nel cerchio di $R^2$ con centro nell'origine e raggio 1:

Io mi sono detto che trovare l'area di una superficie a due dimensioni in $R^3$ non è altro che calcolare la lunghezza di una $f(x,y)$: $f:R^2\toR^3$.
Quindi ho utilizzato per calcolare l'area questa formula
$\int_C\sqrt{1+|\nablaf(x,y)|^2}dxdy$
Quindi :
$\int_C\sqrt{1+(\sqrt{(2x)^2+(2y)^2})^2}dxdy=\int_C\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy$
Ho sostituito poi le variabili in forma polare ed ho ottenuto come risultato: $\pi/6(5sqrt(5)-1)$
Potrebbe andare..?

[cavallipurosangue]

Ok ecco i passaggi:
$\int_C\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy=\int_0^{2\pi}(\int_0^1\rhosqrt{1+4\rho^2}d\rho)d\theta=1/8\int_0^{2\pi}(\int_0^18\rhosqrt{1+4\rho^2}d\rho)d\theta=1/8 2/3\int_0^{2\pi}[(1+4\rho)^{3/2}]_0^1d\theta=1/12(5sqrt(5)-1)[\theta]_0^{2\pi}=\pi/6(5sqrt(5)-1)$