Area definita da una curva + Lavoro lungo tale curva

[enrico.bellemo]

Data la curva di equazione polare: $rho = 1-costheta, thetain[0,pi/2]$

che fornisce la parametrizzazione: $\bar{r}(theta)=((1-costheta)costheta,(1-costheta)sentheta)$

ed il campo conservativo: $\bar{F}(x,y) = (2x+e^(xcosy)cosy)\bar{i}+(1-xe^(xcosy)seny)\bar{j}$

(1) Si calcoli l'area della regione di piano compresa tra il sostegno della curva e l'asse delle ordinate.
(2) Calcolare il lavoro di $\bar{F}$ lungo $gamma$

(1) Ho pensato di applicare Gauss-Green secondo la formula: $ int_(gamma) lambdaxdy - muydx $ dove $lambda+mu=1$

All'inizio l'ho applicato al campo F, ma mi sono ritrovato, anche ponendo ad esempio $lambda=0,mu=1$, l'integrale:

$Area=-int_(gamma) (1-xe^(xcosy)seny)(2+cos^2ye^(xcosy))$

Ma, a parte la complessità, le variabili sono due!

Quindi ho pensato di passare alla parametrizzazione $\bar{r}(theta)$, ottenendo:

$Area= int_(0)^(pi/2) lambda*(1-costheta)costheta*(senthetacostheta)(1-costheta)-mu*(1-costheta)sentheta*[(-sen^2theta)(1-costheta)] d theta$

Che, ancora, non mi sembra giusto...

(2) In genere, la prassi è sostituire la parametrizzazione $\bar{r}(theta)$ all'interno del campo, per poi applicare la formula:

$ W = int_(0)^(pi/2) (\bar{F}(\bar{r}(theta))*\bar{r'}(theta)d theta $

Ma anche da qui, l'integrale che si ottiene è improponibile!

Chiedo aiuto per piacere, grazie!

[Studente Anonimo]

Per quanto riguarda il primo punto, la curva è tale da poter calcolare quell'area con il seguente integrale doppio:

$\int_{0}^{\pi/2}d\theta\int_{0}^{1-cos\theta}d\rhorho$

"Henry!":
... ed il campo conservativo ...

Per quanto riguarda il secondo, la frase riportata sembra un invito a calcolarne il potenziale:

$\{((delV)/(delx)=2x+cosye^(xcosy)),((delV)/(dely)=1-xsinye^(xcosy)):} rarr$

$rarr \{(V=x^2+e^(xcosy)+A(y)),(-xsinye^(xcosy)+A'(y)=1-xsinye^(xcosy)):} rarr$

$rarr \{(V=x^2+e^(xcosy)+y+C),(A(y)=y+C):}$

[enrico.bellemo]

Interessante.
Ma aspetta, il lavoro di un campo conservativo lungo una linea chiusa non è nullo?
Ad ogni modo, il calcolo del potenziale era la domanda successiva! Hah!

Grazie mille dell'aiuto!

[enrico.bellemo]

Anzi, non è una curva chiusa, chiedo scusa! (Infatti, il lavoro vale uno)

Mi chiedo però come mai vengano conti così complessi quando applico le modalità di risoluzione che lo stesso professore mi ha detto di usare...
A te, Sergeant Elias, verebbe fuori la stessa accozzaglia?

Inoltre, quando calcoli il potenziale V integrando in x, come mai la costante A(y) dipende appunto da y?

Grazie!

[Studente Anonimo]

"Henry!":
... quando calcoli il potenziale V integrando in x ...

Perché:

$[V=x^2+e^(xcosy)+A(y)] rarr [(delV)/(delx)=2x+cosye^(xcosy)]$

anche se $A$ dipende da $y$.

"Henry!":
... come mai vengano conti così complessi ...

Premesso che non ho provato a svolgerli, devi considerare che i conti dipendono anche dalla curva.

[enrico.bellemo]

Grande!
In realtà, il motto del mio professore è: "Molta osservazione,poco ragionamento", quindi penso fosse fatto apposta per trarre un po' in inganno.