Area cardioide
Utilizzare la formula
$Area D =1/2 \int_{+delD} (xdy-ydx)$
per calcolare l'area della regione di piano racchiusa dalla cardioide, di equazione $rho = 1 + cos theta$, con $theta in [-pi;pi]$
Non so neanch'io da dove iniziare, potreste aiutarmi? E' l'area di un grafico di funzione, giusto?
Quindi la formula dovrebbe essere $Area (G_f)= \intint_D sqrt(f_x^2+f_y^2+1) dxdy$? e se così fosse, come calcolo le derivate parziali se la cardioide è scritta come $rho = 1 + cos theta$?
Grazie in anticipo
$Area D =1/2 \int_{+delD} (xdy-ydx)$
per calcolare l'area della regione di piano racchiusa dalla cardioide, di equazione $rho = 1 + cos theta$, con $theta in [-pi;pi]$
Non so neanch'io da dove iniziare, potreste aiutarmi? E' l'area di un grafico di funzione, giusto?
Quindi la formula dovrebbe essere $Area (G_f)= \intint_D sqrt(f_x^2+f_y^2+1) dxdy$? e se così fosse, come calcolo le derivate parziali se la cardioide è scritta come $rho = 1 + cos theta$?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao ...
credo di aver svolto quell'esercizio.
Per risolverlo stai utilizzando le formule di Gauss-Green : $A=1/2 [int_(partial D)xdy- int_(partial D)ydx]$
Come vedi ti da una curva in forma polare ...devi riparametrizzarla in forma cartesiana.
Fatto questo torniamo alla formula di Gauss-Green ...al posto delle variabili x e y sostituisci le parametrizzazioni della curva e al posto di dx e dy il differenziale delle parametrizzazioni della curva (in pratica derivi).
Svolgi l'integrale ...sono molti calcoli ma alla fine delle simmetrie dovrebbero annullarti qualcosa.
Se c'è qualcosa che non va provo a essere più preciso.
credo di aver svolto quell'esercizio.
Per risolverlo stai utilizzando le formule di Gauss-Green : $A=1/2 [int_(partial D)xdy- int_(partial D)ydx]$
Come vedi ti da una curva in forma polare ...devi riparametrizzarla in forma cartesiana.
Fatto questo torniamo alla formula di Gauss-Green ...al posto delle variabili x e y sostituisci le parametrizzazioni della curva e al posto di dx e dy il differenziale delle parametrizzazioni della curva (in pratica derivi).
Svolgi l'integrale ...sono molti calcoli ma alla fine delle simmetrie dovrebbero annullarti qualcosa.
Se c'è qualcosa che non va provo a essere più preciso.
"previ91":
Come vedi ti da una curva in forma polare ...devi riparametrizzarla in forma cartesiana.
Come si riparametrizza in forma cartesiana?
$f(rho,theta)=(rho cos theta , rho sin theta)=((1+cos theta)cos theta ,(1+cos theta)sin theta)$
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