$arcsin(x)+arccos(x)=pi/2$

[indovina]

Ho trovato sul libro tra le varie formule anche questa:

$arcsin(x)+arccos(x)=pi/2$

Ora chiedo, ha una sua dimostrazione? Per via analitica e geometrica?

Non trovo nulla sul libro che mi spieghi 'da dove spunta' tale relazione.

[Seneca1]

"clever":Ho trovato sul libro tra le varie formule anche questa:

$arcsin(x)+arccos(x)=pi/2$

Ora chiedo, ha una sua dimostrazione? Per via analitica e geometrica?

Non trovo nulla sul libro che mi spieghi 'da dove spunta' tale relazione.

Si può dimostrare, certo.

Sostituisci:

$x = sin(z)$

Quindi hai:

$z + arccos(sin(z)) = pi/2$

$z + arccos(cos(pi/2 - z)) = pi/2$

$z + pi/2 - z = pi/2$

Quindi abbiamo verificato l'identità.

[stefano_89]

Certo è legata al primo corollario del Teorema di Lagrange..
Cioè che se f ha derivata nulla in un intervallo, allora ha valore costante in tale intervallo.
Devi derivare la funzione $f(x) = arcsin(x) + arccos(x)
Se ottieni zero, alloora puoi sostituire qualsiasi valore di x (all' interno del dominio di f) e otterrai sempre $\pi/2$

[Steven11]

Un altro modo è considerare

[tex]$g(x)=\arcsin(x)+\arccos(x)$[/tex]

Derivando, vedo che [tex]$g'(x)$[/tex] vale zero per ogni valore di [tex]$x$[/tex], da ciò si deduce che la funzione è costante, cioè
[tex]$g(x)=\arcsin(x)+\arccos(x)=k$[/tex]

Sostituendo un valore facile, ad esempio [tex]$x=0$[/tex], ho facilmente che [tex]$k=\frac{\pi}{2}$[/tex]

[Seneca1]

Oppure, guardando i grafici, si può vedere che per ottenere la funzione $arcsin(x)$ a partire dalla funzione $arccos(x)$, si deve effettuare una traslazione verso il basso di $pi/2$ e una simmetria rispetto all'asse delle ordinate. Quindi:

Traslazione: $acos(x) - pi/2$

Simmetria: $- ( acos(x) - pi/2 )$

E si ha la formula:

$asin(x) = - ( acos(x) - pi/2 )$

[Seneca1]

Clever, esiste una formula simile che è: $arctan(x) + "arcot"(x) = pi/2$

Si dimostra alla stesso modo.

[indovina]

Grazie a tutti per tutte le vostre risposte.
Quella di Steven è davvero la più intuitiva!
Ciao