Arcotangente: Sviluppo di Taylor-McLaurin
Ciao,
ho un problema con il calcolo mediante Sviluppo di Taylor-McLaurin dell'arcotangente per x>1.
per intenderci utilizzando ad esempio excel:
con valori di x<0,9 quando applico
y=arctan x
oppure
y=x-((x^3)/3)+((x^5)/5)-((x^7)/7)+((x^9)/9)-((x^11)/11)+((x^13)/13)-((x^15)/15)+((x^17)/17)-((x^19)/19)+((x^21)/21)-((x^23)/23)+((x^25)/25)-((x^27)/27)+((x^29)/29)-((x^31)/31)+((x^33)/33)-((x^35)/35)+((x^37)/37)-((x^39)/39)+((x^41)/41)-((x^43)/43)+((x^45)/45)-((x^47)/47)+((x^49)/49)
I risultati possono essere considerati uguali (es. con x=0.8 in entrambi i casi y=0,674741)
Se applico le stesse formule con x>0,9 i risultati si discostano di molto (es. con x=1 nel primo caso y=0,78539, nel secondo caso y=0,79539).
Esiste una soluzione per avere la stessa accuratezza anche per valori di x>0,9 ??
Grazie mille
Giovanni
ho un problema con il calcolo mediante Sviluppo di Taylor-McLaurin dell'arcotangente per x>1.
per intenderci utilizzando ad esempio excel:
con valori di x<0,9 quando applico
y=arctan x
oppure
y=x-((x^3)/3)+((x^5)/5)-((x^7)/7)+((x^9)/9)-((x^11)/11)+((x^13)/13)-((x^15)/15)+((x^17)/17)-((x^19)/19)+((x^21)/21)-((x^23)/23)+((x^25)/25)-((x^27)/27)+((x^29)/29)-((x^31)/31)+((x^33)/33)-((x^35)/35)+((x^37)/37)-((x^39)/39)+((x^41)/41)-((x^43)/43)+((x^45)/45)-((x^47)/47)+((x^49)/49)
I risultati possono essere considerati uguali (es. con x=0.8 in entrambi i casi y=0,674741)
Se applico le stesse formule con x>0,9 i risultati si discostano di molto (es. con x=1 nel primo caso y=0,78539, nel secondo caso y=0,79539).
Esiste una soluzione per avere la stessa accuratezza anche per valori di x>0,9 ??
Grazie mille
Giovanni
Risposte
La serie di MacLaurin di $arctan x$ converge solo per $-1<=x<=1$. Quindi è del tutto ovvio che tu abbia problemi per $x>1$. 
Inoltre, la serie di MacLaurin che si ottiene per $x=+-1$ è di tipo armonico alternato, dunque converge mooolto lentamente.
Prima di metterti a fare conti a casaccio, sarebbe meglio studiassi un po' di teoria.
Inoltre, la serie di MacLaurin che si ottiene per $x=+-1$ è di tipo armonico alternato, dunque converge mooolto lentamente.
Prima di metterti a fare conti a casaccio, sarebbe meglio studiassi un po' di teoria.
Il problema è che il raggio di convergenza della serie di Taylor dell'arcotangente è $1$, quindi non puoi sperare di riuscire a calcolare l'arcotangente con il suo sviluppo in serie di Taylor per gli $x>1$, non solo questo vuol dire anche che se cerchi di calcolartela per valori comunque più piccoli di $1$, ma molto vicini ad esso (dato che per $x=1$ la serie converge molto lentamente) avrai bisogno di un numero maggiore di termini per avere una precisione voluta.
Si può usare un trucco per calcolarsi l'arcotangente per $x>1$ cioè sfruttare la formula $AAx>0, arctgx+arctg(1/x)=pi/2$.
Si può usare un trucco per calcolarsi l'arcotangente per $x>1$ cioè sfruttare la formula $AAx>0, arctgx+arctg(1/x)=pi/2$.
"otta96":
Si può usare un trucco per calcolarsi l'arcotangente per $x>1$ cioè sfruttare la formula $AAx>0, arctgx+arctg(1/x)=pi/4$.
$pi/2$...
Ah già... 
correggo.
correggo.
Ciao,
Grazie mille per la risposta.
quindi $ arctg x = pi/2-arctg(1/x) $
E come posso sviluppare la serie di Taylor per $ arctg(1/x) $ ?
Grazie mille
Giovanni
Grazie mille per la risposta.
quindi $ arctg x = pi/2-arctg(1/x) $
E come posso sviluppare la serie di Taylor per $ arctg(1/x) $ ?
Grazie mille
Giovanni
Ad esempio se vuoi calcolare $arctan7$ (per esempio), hai che $arctan7=pi/2-arctan(1/7)$, sai calcolare sia $pi/2$ che $arctan(1/7)$, quindi sa calcolarti anche $arctan7$.
"gugo82":
Prima di metterti a fare conti a casaccio, sarebbe meglio studiassi un po' di teoria.
Beh Gugo stavolta non sono d'accordo. Questi "conti a casaccio" possono essere chiamati "esperimenti numerici", sono una legittima curiosità che fa bene.
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