Approssimazione della funzione $e^x$
Mi chiedevo se era possibile senza l'uso del teorema del resto di lagrange, calcolare con l'approssimazione voluta il valore della seguente e ben nota funzione $e^x=1+x+x^2/(2!)+x^3/(3!)+...x^n/(n!)+...$, sapendo che la serie di termine generale $x^n/(n!)$ risulta essere convergente?
Saluti!
Saluti!
Risposte
Non credo di aver capito bene cosa stai chiedendo... Riformuleresti la domanda, please?
x@gugo82.Si non so spiegarmi ed ho formulato male la domanda, provo a riformulare la domanda;
Provo a considerare per $x=1$ la funzione $e^x$, avremo $e=1+1+1/2+1/(3!)+....+1/(n!)+...$, adesso, se mi arresto al termine $1/(n!)$, significa che commetto un errore $R=1/((n+1)!)+1/((n+2)!)+...$ $=1/(n!)(1/(n+1)+1/((n+1)(n+2))+........)$, la serie tra parentesi é minore della serie $1/(n+1)+1/(n+1)^2+1/(n+1)^3+..........$, la cui somma vale $1/n$,
pertanto la quantità $R$ sarà minore di $1/(n!n)$, avremo perciò le seguenti disuguaglianze:
$e>1+1+1/2+1/(3!)+..........+1/(n!)$, ed $e<1+1+1/2+1/(3!)+.....+1/(n!)+1/(n!n)$ quindi potrò scrivere :
$e=1+1+1/2+.....+1/(n!)+k/(n!n)$ essendo $k$ opportunamente compreso tra zero ed $1$, quindi il fatto di avere trovato
la maggiorazione $1/(n!n)$ mi permette di calcolare il numero $e$ con l'approssimazione desiderata.
In questo elementare procedimento ho forse applicato inconsapevolmente i concetti della formula di taylor con resto di lagrange ?
Quando scelgo opportunamente $k$ tra zero ed $1$ non sto per caso applicando il teorema di lagrange(del valor medio)?
Inoltre la serie $1+1+1/2+1/(3!)+...+1/(n!)+....$ approssimerà il numero $e$ se e solo se il limite del resto $R$ tenderà a zero per $n->infty$, il termine $1/(n!n)$ che mi permette la maggiorazione svolge per caso la stessa funzione del termine $T_n$, che tende a zero per $n->infty$, detto termine complementare della formula di Mac Laurin?
Sto tentando di capire come funziona la formula di taylor con resto di lagrange, e per un profano come me, la comprensione di un tale argomento risulta assai ostico, pertanto un semplice esempio come questo potrebbe aiutarmi nella comprensione del'argomento.
Ti ringrazio ed in attesa di una risposta ti porgo i saluti!
Provo a considerare per $x=1$ la funzione $e^x$, avremo $e=1+1+1/2+1/(3!)+....+1/(n!)+...$, adesso, se mi arresto al termine $1/(n!)$, significa che commetto un errore $R=1/((n+1)!)+1/((n+2)!)+...$ $=1/(n!)(1/(n+1)+1/((n+1)(n+2))+........)$, la serie tra parentesi é minore della serie $1/(n+1)+1/(n+1)^2+1/(n+1)^3+..........$, la cui somma vale $1/n$,
pertanto la quantità $R$ sarà minore di $1/(n!n)$, avremo perciò le seguenti disuguaglianze:
$e>1+1+1/2+1/(3!)+..........+1/(n!)$, ed $e<1+1+1/2+1/(3!)+.....+1/(n!)+1/(n!n)$ quindi potrò scrivere :
$e=1+1+1/2+.....+1/(n!)+k/(n!n)$ essendo $k$ opportunamente compreso tra zero ed $1$, quindi il fatto di avere trovato
la maggiorazione $1/(n!n)$ mi permette di calcolare il numero $e$ con l'approssimazione desiderata.
In questo elementare procedimento ho forse applicato inconsapevolmente i concetti della formula di taylor con resto di lagrange ?
Quando scelgo opportunamente $k$ tra zero ed $1$ non sto per caso applicando il teorema di lagrange(del valor medio)?
Inoltre la serie $1+1+1/2+1/(3!)+...+1/(n!)+....$ approssimerà il numero $e$ se e solo se il limite del resto $R$ tenderà a zero per $n->infty$, il termine $1/(n!n)$ che mi permette la maggiorazione svolge per caso la stessa funzione del termine $T_n$, che tende a zero per $n->infty$, detto termine complementare della formula di Mac Laurin?
Sto tentando di capire come funziona la formula di taylor con resto di lagrange, e per un profano come me, la comprensione di un tale argomento risulta assai ostico, pertanto un semplice esempio come questo potrebbe aiutarmi nella comprensione del'argomento.
Ti ringrazio ed in attesa di una risposta ti porgo i saluti!
Forse quello che ho scritto non é sensato?
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