Applicazioni lineari: il famoso Ker

[zio_mangrovia]

Vorrei capire bene il concetto di nucleo, la definizione dice:

data un'applicazione lineare $A:X->Y$ si definisce $ker A={x in X : A(x)=0}$

quindi il $ker$ rappresenta ogni elemento dello spazio vettoriale $X$ che abbia come immagine lo $0$ dello spazio Y

premesso che in un'applicazione lineare il vettore nullo fa sempre parte del ker,
se la dimensione del $ker A = 0$ significa che non ci sono elementi in $X$ che hanno come immagine il valore $0$,
quindi si può considerare $ker A={\Phi}$ cioè come l'insieme vuoto?
Oppure invece deve essere considerato come $ker A={0}$ cioè contenente il solo valore $0$ ?

[Ernesto011]

Ti stai contraddicendo.
"Il vettore nullo fa sempre parte del ker"
"Non ci sono elementi di $X$ che hanno come immagine il valore 0"

Comunque, nel caso la dimensione sia $0$, l'unico elemento del kernel è il vettore nullo e si può definire Ker(A)={0}

[feddy]

Se il nucleo fosse l'insieme vuoto, allora significherebbe che non ci sono elementi che vengono mappati nello $vec0$, ma questo è assurdo in quanto sappiamo che necessariamente $f(vec0)=vec0$, con $f$ applicazione lineare. Quindi si scrive $ker(A)={vec0}$. [Ricorda inoltre che il nucleo è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale di partenza.] E $d i m (ker(A))=0$, infatti, la dimensione dello spazio vettoriale contenente solo il vettore nullo è proprio $0$.

[zio_mangrovia]

"feddy":Se il nucleo fosse l'insieme vuoto, allora significherebbe che non ci sono elementi che vengono mappati nello $vec0$, ma questo è assurdo in quanto sappiamo che necessariamente $f(vec0)=vec0$, con $f$ applicazione lineare. Quindi si scrive $ker(A)={vec0}$. [Ricorda inoltre che il nucleo è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale di partenza.] E $d i m (ker(A))=0$, infatti, la dimensione dello spazio vettoriale contenente solo il vettore nullo è proprio $0$.

Quindi se il $ker$ contiene SOLO il vettore nullo la sua dimensione viene considerata zero anche se in realtà ha un solo elemento. Giusto?
Negli appunti vedo spesso $ker(A)={\Phi}$ quindi si riferirà indubbiamente a come dici tu al $vec0$, giusto?

[feddy]

Per la prima domanda, esatto.
Per la seconda: la scrittura $ker(A)= {\emptyset}$ non è giusta, è corretto se ma $ker(A)=\langle vec0 \rangle$

[gugo82]

Suggerisco di riflettere sulla seguente questione: cos'è la dimensione di uno spazio vettoriale (o di un suo sottospazio)?