Applicazioni del Teorema del Dini
Si considerano l'insieme A dei punti di $ RR^3 $ che verificano la condizione
$ z-x-3y-e^{xyz} =0 $
e l'insieme B dei punti di $ RR^3 $ che verificano la condizione
$ x-xz-3yz- cos (xyz)=0 $
Provare che in un opportuno intorno del punto (0,0,1) gli insiemi A e B coincidono rispettivamente col grafico di una funzione z=g(x,y) e con il grafico di una funzione z=f(x,y), definite entrambe in un intorno di (0,0) e che in questo intorno
$ g(x,y) leq f(x,y) $
Svolgimento:
vedo l'insieme A come insieme di livello zero della funzione $a(x,y,z)= z-x-3y-e^{xyz}$
a(0,0,1)=0
grad a= ( $ -1-(yz)*e^{xyz} $ , $ -(xz)*e^{xyz} $ , $ 1-(xy)*e^{xyz} $ ) in particolare nel punto vale (-1,0,1) ed è diverso da zero
La funzione a è C1 pertanto per il teorema del Dini posso vederla come
a(x,y,g(x,y)) essendo la terza componente del gradiente diversa da zero
Per l'insieme B vale lo stesso ragionamento (salto i calcoli per comodità)
il suo gradiente nel punto vale (-1,3,1)
allora vedo b(x,y,f(x,y))
Ora g(0,0)=1 e f(0,0)=1
la due funzioni sono definite nell'intorno di (0,0) e la disuguaglianza è verificata
Per verificarla nell'intorno questa è l'ipotesi che ho fatto io:
ho consiferato una funzione
h(x,y)=g(x,y)-f(x,y) che deve essere minore o uguale a zero nell'intorno
So che h(0,0)=0
Ma per dimostrare chenell'intorno è uguale o al più minore avevo pensato di dimostrare che (0,0) sia un punto di massimo relativo per la funzione h nell'intorno cosiderato.
Non so se la cosa ha un rigore logico
Per fare questo dovrei studiare le derivate di h (eventualmente anche la sue hessiana e studiarne gli autovalori..)
però a queso punto non so come procedere..
$ z-x-3y-e^{xyz} =0 $
e l'insieme B dei punti di $ RR^3 $ che verificano la condizione
$ x-xz-3yz- cos (xyz)=0 $
Provare che in un opportuno intorno del punto (0,0,1) gli insiemi A e B coincidono rispettivamente col grafico di una funzione z=g(x,y) e con il grafico di una funzione z=f(x,y), definite entrambe in un intorno di (0,0) e che in questo intorno
$ g(x,y) leq f(x,y) $
Svolgimento:
vedo l'insieme A come insieme di livello zero della funzione $a(x,y,z)= z-x-3y-e^{xyz}$
a(0,0,1)=0
grad a= ( $ -1-(yz)*e^{xyz} $ , $ -(xz)*e^{xyz} $ , $ 1-(xy)*e^{xyz} $ ) in particolare nel punto vale (-1,0,1) ed è diverso da zero
La funzione a è C1 pertanto per il teorema del Dini posso vederla come
a(x,y,g(x,y)) essendo la terza componente del gradiente diversa da zero
Per l'insieme B vale lo stesso ragionamento (salto i calcoli per comodità)
il suo gradiente nel punto vale (-1,3,1)
allora vedo b(x,y,f(x,y))
Ora g(0,0)=1 e f(0,0)=1
la due funzioni sono definite nell'intorno di (0,0) e la disuguaglianza è verificata
Per verificarla nell'intorno questa è l'ipotesi che ho fatto io:
ho consiferato una funzione
h(x,y)=g(x,y)-f(x,y) che deve essere minore o uguale a zero nell'intorno
So che h(0,0)=0
Ma per dimostrare chenell'intorno è uguale o al più minore avevo pensato di dimostrare che (0,0) sia un punto di massimo relativo per la funzione h nell'intorno cosiderato.
Non so se la cosa ha un rigore logico
Per fare questo dovrei studiare le derivate di h (eventualmente anche la sue hessiana e studiarne gli autovalori..)
però a queso punto non so come procedere..
Risposte
"Lali":
Si considerano l'insieme A dei punti di $ RR^3 $ che verificano la condizione
$ z-x-3y-e^{xyz} =0 $
e l'insieme B dei punti di $ RR^3 $ che verificano la condizione
$ x-xz-3yz- cos (xyz)=0 $
Provare che in un opportuno intorno del punto (0,0,1) gli insiemi A e B coincidono rispettivamente col grafico di una funzione z=g(x,y) e con il grafico di una funzione z=f(x,y), definite entrambe in un intorno di (0,0) e che in questo intorno
$ g(x,y) leq f(x,y) $
La seconda funzione è per caso [tex]$z-xz-3yz-\cos (xyz)$[/tex]?
Perchè così com'è scritta, il punto [tex]$(0,0,1)$[/tex] non è soluzione dell'equazione [tex]$ x-xz-3yz- \cos (xyz)=0 $[/tex]...
Purtroppo non ho più il testo dell'esame a portata di mano..
quindi non posso controllare..
mi spiace, ipotizziamo che io mi sia sbagliata e sia z al posto di x
in modo che si possano applicare le ipotesi del teorema del Dini, perchè sono piuttosto sicura che si debba partire da lì
quindi non posso controllare..
mi spiace, ipotizziamo che io mi sia sbagliata e sia z al posto di x
in modo che si possano applicare le ipotesi del teorema del Dini, perchè sono piuttosto sicura che si debba partire da lì
Allora, posto [tex]$G(x,y,z):=z-x-3y-e^{xyz}$[/tex] e [tex]$F(x,y,z):=z-xz-3yz-\cos (xyz)$[/tex], per provare l'esistenza delle funzioni [tex]$g$[/tex] e [tex]$f$[/tex] occorre e basta vedere se sono verificate le ipotesi del teorema, cioè:
1) il punto [tex]$(0,0,1)$[/tex] è soluzione delle due equazioni [tex]$F(x,y,z)=0$[/tex] e [tex]$G(x,y,z)=0$[/tex];
2) [tex]$F$[/tex] e [tex]$G$[/tex] sono di classe [tex]$C^1$[/tex] in un intorno di [tex]$(0,0,1)$[/tex];
3) le derivate parziali [tex]$F_z$[/tex] e [tex]$G_z$[/tex] non si annullano in [tex]$(0,0,1)$[/tex] (questo perchè vuoi esplicitare rispetto alla [tex]$z$[/tex]).
Se hai le 1-3 allora i tuoi insiemi [tex]$A:=\{ G(x,y,z)=0\}$[/tex] e [tex]$B:=\{ F(x,y,z)=0\}$[/tex] coincidono localmente col grafico delle funzioni [tex]$g$[/tex] e [tex]$f$[/tex].
Fino a qui, a parte qualche incertezza, mi pare che il tuo ragionamento fili liscio.
L'idea di studiare il minimo di [tex]$h(x,y):=f(x,y)-g(x,y)$[/tex] è parimenti buona.
Ovviamente [tex]$h(0,0)=f(0,0)-g(0,0)=1-1=0$[/tex], quindi se riesci a mostrare che [tex]$(0,0)$[/tex] è un minimo locale per [tex]$h$[/tex] hai "vinto".
Il teorema del Dini (nelle ipotesi che abbiamo scelto, ossia [tex]$F,G$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex] intorno a [tex]$(0,0,1)$[/tex]) ti dà anche informazioni sulle derivate parziali di [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex]: infatti ti dice che:
(*) [tex]$f_x(x,y) =-\frac{F_x(x,y,f(x,y))}{F_z(x,y,f(x,y))} \; ,\quad f_y(x,y)=-\frac{F_y(x,y,f(x,y))}{F_z(x,y,f(x,y))}$[/tex]
(**) [tex]$g_x(x,y) =-\frac{G_x(x,y,g(x,y))}{G_z(x,y,g(x,y))} \; ,\quad g_y(x,y)=-\frac{G_y(x,y,g(x,y))}{G_z(x,y,g(x,y))}$[/tex].
Da queste relazioni puoi ricavare facilmente [tex]$\text{D} h(0,0)$[/tex] (ossia il gradiente di [tex]$h$[/tex] calcolato in [tex]$(0,0)$[/tex]) e vedere se [tex]$(0,0)$[/tex] è un punto stazionario o meno per [tex]$h$[/tex].
Poi, se il punto è stazionario, devi determinare l'hessiano di [tex]$h$[/tex]... Il che si può anche fare.
Infatti, visto che in realtà le tue funzioni [tex]$F,G$[/tex] sono di classe [tex]$C^2$[/tex] (anzi, a dirla tutta sono [tex]$C^\infty$[/tex]), puoi derivare le (*) e (**) per ottenere le derivate seconde di [tex]$f,g$[/tex] ed usarle per calcolare [tex]$\text{H} h(0,0)$[/tex] (l'hessiano di [tex]$h$[/tex] in [tex]$(0,0)$[/tex]).
I calcoli sono un po' lunghetti, ma dovresti arrivare da qualche parte.
1) il punto [tex]$(0,0,1)$[/tex] è soluzione delle due equazioni [tex]$F(x,y,z)=0$[/tex] e [tex]$G(x,y,z)=0$[/tex];
2) [tex]$F$[/tex] e [tex]$G$[/tex] sono di classe [tex]$C^1$[/tex] in un intorno di [tex]$(0,0,1)$[/tex];
3) le derivate parziali [tex]$F_z$[/tex] e [tex]$G_z$[/tex] non si annullano in [tex]$(0,0,1)$[/tex] (questo perchè vuoi esplicitare rispetto alla [tex]$z$[/tex]).
Se hai le 1-3 allora i tuoi insiemi [tex]$A:=\{ G(x,y,z)=0\}$[/tex] e [tex]$B:=\{ F(x,y,z)=0\}$[/tex] coincidono localmente col grafico delle funzioni [tex]$g$[/tex] e [tex]$f$[/tex].
Fino a qui, a parte qualche incertezza, mi pare che il tuo ragionamento fili liscio.
L'idea di studiare il minimo di [tex]$h(x,y):=f(x,y)-g(x,y)$[/tex] è parimenti buona.
Ovviamente [tex]$h(0,0)=f(0,0)-g(0,0)=1-1=0$[/tex], quindi se riesci a mostrare che [tex]$(0,0)$[/tex] è un minimo locale per [tex]$h$[/tex] hai "vinto".
Il teorema del Dini (nelle ipotesi che abbiamo scelto, ossia [tex]$F,G$[/tex] di classe [tex]$C^1$[/tex] intorno a [tex]$(0,0,1)$[/tex]) ti dà anche informazioni sulle derivate parziali di [tex]$f$[/tex] e [tex]$g$[/tex]: infatti ti dice che:
(*) [tex]$f_x(x,y) =-\frac{F_x(x,y,f(x,y))}{F_z(x,y,f(x,y))} \; ,\quad f_y(x,y)=-\frac{F_y(x,y,f(x,y))}{F_z(x,y,f(x,y))}$[/tex]
(**) [tex]$g_x(x,y) =-\frac{G_x(x,y,g(x,y))}{G_z(x,y,g(x,y))} \; ,\quad g_y(x,y)=-\frac{G_y(x,y,g(x,y))}{G_z(x,y,g(x,y))}$[/tex].
Da queste relazioni puoi ricavare facilmente [tex]$\text{D} h(0,0)$[/tex] (ossia il gradiente di [tex]$h$[/tex] calcolato in [tex]$(0,0)$[/tex]) e vedere se [tex]$(0,0)$[/tex] è un punto stazionario o meno per [tex]$h$[/tex].
Poi, se il punto è stazionario, devi determinare l'hessiano di [tex]$h$[/tex]... Il che si può anche fare.
Infatti, visto che in realtà le tue funzioni [tex]$F,G$[/tex] sono di classe [tex]$C^2$[/tex] (anzi, a dirla tutta sono [tex]$C^\infty$[/tex]), puoi derivare le (*) e (**) per ottenere le derivate seconde di [tex]$f,g$[/tex] ed usarle per calcolare [tex]$\text{H} h(0,0)$[/tex] (l'hessiano di [tex]$h$[/tex] in [tex]$(0,0)$[/tex]).
I calcoli sono un po' lunghetti, ma dovresti arrivare da qualche parte.
Perfetto,
Adesso controllerò l'hessiana e i suoi autovalori (calcoli permettendo)
Grazie mille
Adesso controllerò l'hessiana e i suoi autovalori (calcoli permettendo)
Grazie mille
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