Applicazione del teorema dei due carabinieri

[galles90]

Buongiorno amici,
nello svolgere alcuni esempi sull'applicazione del teorema dei due carabinieri ho trovato il seguente esercizio dove far vedere
che il \(\displaystyle lim_{x\to 0} cosx=1 \), dove in antecedenza ha dimostrato la seguente disuguaglianza:


\(\displaystyle * \) con \(\displaystyle 0<|x|\le \tfrac{\pi}{2}\) si ha \(\displaystyle cosx<\tfrac{senx}{x}<1 \) fin qua ci sono !!

Prima conseguenza della \(\displaystyle * \), visto che \(\displaystyle cosx>-1 \) risulta \(\displaystyle -1<\tfrac{senx}{x}<1 \)

dove \(\displaystyle \tfrac{|senx|}{|x|}<1 \)

si ha dunque \(\displaystyle 0 \le |senx|\le |x|\), per il teorema dei due carabinieri si ha

\(\displaystyle lim_{x\to 0 }senx=0 \)

\(\displaystyle ** \) D'altra parte \(\displaystyle |x|<\tfrac{\pi}{2} \) si ha \(\displaystyle 0 dunque \(\displaystyle 0\le 1-cosx=\tfrac{sen^2x}{1+cosx} \(\displaystyle lim_{x\to 0} cosx=1 \).

La parte che non mi torna tanto è \(\displaystyle ** \) cioè non sono i passaggi che fa...ma non riesco a vedere le funzioni che approssimano \(\displaystyle cosx \)

Ciao

[pilloeffe]

Ciao galles90,

Partiamo dalla disequazione per $|x| < \pi/2 $:

$0 < cos x \le 1 \implies - 1 \le - cos x < 0 $

Sommando $1$ a tutti si ha:

$0 \le 1 - cos x = frac{1 - cos^2 x}{1 + cos x} = frac{sin^2 x}{1 + cos x} < sin^2 x $

Quindi, dato che hai appena dimostrato che $ lim_{x \to 0} sin x = 0 $, si ha la tesi: $ lim_{x \to 0} cos x = 1 $

[galles90]

Ciao pilloeffe,

Innanzitutto grazie per avermi risposto, invece per il problema dovrei ragionare cosi

considerando la scrittura:

1 \(\displaystyle 0 \le 1 - cos x = \tfrac{1 - cos^2 x}{1 + cos x} = \tfrac{sin^2 x}{1 + cos x} < sin^2 x \)

e sapendo che \(\displaystyle lim_{x \to 0} sin x = 0 \)

la 1 la posso riscrivere nel seguente modo \(\displaystyle *** \) \(\displaystyle 0 \le 1 - cos x < 0 \)

Affinché si verifica la relazione \(\displaystyle *** \) il \(\displaystyle cosx=1 \)

[pilloeffe]

"galles90":Innanzitutto grazie per avermi risposto

Prego!
Beh, più formalmente, passando al limite nell'ultima catena di disuguaglianze che ti ho scritto si ha:

$ lim_{x \to 0} 0 \le lim_{x \to 0} (1 - cos x) < lim_{x \to 0} sin^2 x $

Dato che hai appena dimostrato che $ lim_{x \to 0} sin x = 0 $, si ha:

$ lim_{x \to 0} (1 - cos x) = 0 iff lim_{x \to 0} cos x = 1 $

[galles90]

A presto