Applicazione Cauchy

[francicko]

Avendo le due seguenti funzioni $f(x)=2x^2$, e $g(x)=x^2+3$, e considerando l'intervallo $(-1,3) $, se applico il teorema di Cauchy ottengo infinite soluzioni, pur avendosi che $g'(x) $ si annulla all'interno dell'intervallo$(-1,3) $, e precisamente in $0$;
Come mai allora il seguente enunciato del teorema dice che:
Se due funzioni reali $f (x) $, e $g (x) $, derivabili internamente, nell'intervallo chiuso $(a,b) $, e se la derivata $g'(x) $ non si annulla mai, allora esiste almeno un punto interno $c $ a tale intervallo tale che vale la seguente relazione:
$(f (b)-f (a))/(g(b)-g (a))=(f'(c))/(g'(c))$, l'esempio che ho riportato sopra non e' in contraddizione con il suddetto asserto? mi sbaglio?
Sapreste fornirmi un esempio in cui l'asserto del teorema non risulti valido in quanto la $f'(x) $ si annulla in qualche punto interno all' intervallo $(a,b) $?
Grazie per le eventuali risposte!
Saluti!

[kobeilprofeta]

condizione necessaria-sufficiente

ti dice che se non si annulla, vale il teorema

nessuno ti dice che se sia annulla allora il teorema non vale