Aplicazioni di Taylor
Salve a tutti....sono alle prese con questo genere di esercizi:
Calcolare $sqrt(17)$ con un errore inferiore a $10^-2$
Alcuni, tipo questo, mi sono riusciti, facendo in questo modo:
$sqrt(17)=4*sqrt(1+1/16)$
Considero: $f(x)=4*sqrt(1+x)$ con $x=1/16$
Per induzione, mi calcolo le derivate successive e così applico il teorema del resto di Lagrange.
Prendo $y in (0,1/16)$ e siccome la derivata è una funzione decrescente è massima quando y=0. Quindi:
$E(x)= f(y)^((n+1))/((n+1)!)*(x-x_0)^(n+1)$=$(-1)^n*4*(\prod_{k=2}^n 2k-1)/(2^(n+1)*(1+y)^(n+1/2))*(x-x_0)^(n+1)/((n+1)!) < 4*(\prod_{k=2}^n 2k-1)/(2^(n+1)*16^(n+1)*(n+1)!)$
deve essere minore di $10^-2$
Provando con $n=2$, mi accorgo che la diseguaglianza si verifica e allora sviluppo con Taylor la funzione e mi fermo al secondo ordine e così mi viene $sqrt(17)=4,12$
Ma ora stavo provando un altro esercizio con $sqrt(3)$, con un errore inferiore a $10^(-4)$
Procedo nello stesso modo ($(f(x)=2*sqrt(1-x))$ con $x=1/4$), ma la derivata mi viene negativa...e quindi è sempre verificato che l'errore è minore di $10^(-4)$, ma non è vero....perchè se mi fermo al primo ordine o al secondo, non viene il risultato con un errore minore di $10^(-4)$. Come potrei fare per risolverlo? Spero mi sia spiegata bene....
Grazie mille...
Calcolare $sqrt(17)$ con un errore inferiore a $10^-2$
Alcuni, tipo questo, mi sono riusciti, facendo in questo modo:
$sqrt(17)=4*sqrt(1+1/16)$
Considero: $f(x)=4*sqrt(1+x)$ con $x=1/16$
Per induzione, mi calcolo le derivate successive e così applico il teorema del resto di Lagrange.
Prendo $y in (0,1/16)$ e siccome la derivata è una funzione decrescente è massima quando y=0. Quindi:
$E(x)= f(y)^((n+1))/((n+1)!)*(x-x_0)^(n+1)$=$(-1)^n*4*(\prod_{k=2}^n 2k-1)/(2^(n+1)*(1+y)^(n+1/2))*(x-x_0)^(n+1)/((n+1)!) < 4*(\prod_{k=2}^n 2k-1)/(2^(n+1)*16^(n+1)*(n+1)!)$
deve essere minore di $10^-2$
Provando con $n=2$, mi accorgo che la diseguaglianza si verifica e allora sviluppo con Taylor la funzione e mi fermo al secondo ordine e così mi viene $sqrt(17)=4,12$
Ma ora stavo provando un altro esercizio con $sqrt(3)$, con un errore inferiore a $10^(-4)$
Procedo nello stesso modo ($(f(x)=2*sqrt(1-x))$ con $x=1/4$), ma la derivata mi viene negativa...e quindi è sempre verificato che l'errore è minore di $10^(-4)$, ma non è vero....perchè se mi fermo al primo ordine o al secondo, non viene il risultato con un errore minore di $10^(-4)$. Come potrei fare per risolverlo? Spero mi sia spiegata bene....
Grazie mille...
Risposte
Se $E(x)$ ti viene negativo non significa necessariamente che l'errore è minore di $10^{-4}$. Significa solo che stai sovrastimando il risultato (se $E(x)$ fosse positivo staresti sottostimando).
Ciò che vuoi è $|E(x)|<10^{-4}$
Ciò che vuoi è $|E(x)|<10^{-4}$
Giusto...è in modulo...Grazieeeeeee.....Ora mi viene...
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