Antico dubbio

[Kroldar]

Leggendo un post di Luca.Lussardi mi è tornato alla mente un dubbio che mi venne illo tempore e che mai ho fugato...

Il mio testo di Metodi Matematici recitava (e recita per fortuna tuttora ) così:
Sia $f: (a,b) sube RR to RR$ una funzione derivabile; essa è lipschitziana se e solo se la derivata $f'$ è limitata.

Purtroppo il programma prevedeva soltanto un accenno a questa parte e non prevedeva la dimostrazione del suddetto enunciato.
Qualcuno sa gentilmente fornirmi una dimostrazione di questa condizione necessaria e sufficiente di lipschitzianità?

P.S.: esiste il termine "lipschitzianità" o ho coniato un neologisma?

[Piera4]

Se una funzione è l. implica che il suo rapporto incrementale è limitato: $(|f(x)-f(y)|)/(|x-y|)<=M$ e quindi se è derivabile avrà derivata limitata.
Viceversa, supponiamo che la funzione abbia derivata limitata $f'(x)<=M$ e dimostriamo che la funzione è l.
Applicando il teorema di Lagrange su $[x,y]$ (l'intervallo appartiene al dominio della funzione) si ha
$|f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|<=M|x-y|$.

[Fioravante Patrone1]

"Kroldar":
P.S.: esiste il termine "lipschitzianità" o ho coniato un neologisma?

esiste, esiste. Semmai il neologismo è "neologisma"
ti sei tanto impegnato a scrivere corretto il presunto neologismo, che poi ti sei trovato a corto di acetilcolina...

ciao e buona giornata

[Kroldar]

"Fioravante Patrone":
ti sei tanto impegnato a scrivere corretto il presunto neologismo, che poi ti sei trovato a corto di acetilcolina...

rotfl