Ancora spazi metrici.
Più che altro posto perché non ho i risultati a portata di mano, quindi è una forma di sicurezza.
I seguenti spazi metrici sono sottoinsiemi di '' $RR^2$ '' con metrica euclidea. Determinare interno, derivato, chiusura e frontiera. Stabilire inoltre se si tratta di insiemi aperti, chiusi, limitati.
1 - $E:={vec {x}inRR^2; x^2>=4,yinNN}$.
Penso che voglia dire: l'insieme dei punti le cui ascisse sono '' $x<=-2vvx>=2$ '' e le cui ordinate sono numeri naturali.
'' $AA{p}inE$ '' non esiste '' $r>0$ '': $B(p,r)subeE$. Infatti: $AA{p}inE,AAr>0,EEp_1inE^c:p_1inB(p,r)$.
Quindi l'insieme dei punti interni è vuoto: $E°=varphi$.
'' $RR^2$ '' denso, allora: $AA{p}inE,AAr>0,B(p,r)nnE!=varphi,B(p,r)nnE^c!=varphi$. Infatti sia '' $p(x,y)$ '' ( le sue coordinate ).
Allora '' $AAr>0$ '': $p_1inE^c,p_1(x,y+epsilon),0
Nessun punto è interno, quindi '' $E$ '' non aperto. '' $E'=E$ '', quindi '' $E$ '' chiuso.
Consideriamo le ordinate: $INFy_E=miny_E=1;SUPy_E=+oo$. Allora '' $E$ '' non limitato.
Giusto?
2 - $E:={vec {x}inRR^2;x^2-y^2=0}$.
Ma questa non è semplicemente la retta '' $y=x$ ''? Il resto dell'esercizio non lo posto, mi basta sapere quanto appena domandato.
I seguenti spazi metrici sono sottoinsiemi di '' $RR^2$ '' con metrica euclidea. Determinare interno, derivato, chiusura e frontiera. Stabilire inoltre se si tratta di insiemi aperti, chiusi, limitati.
1 - $E:={vec {x}inRR^2; x^2>=4,yinNN}$.
Penso che voglia dire: l'insieme dei punti le cui ascisse sono '' $x<=-2vvx>=2$ '' e le cui ordinate sono numeri naturali.
'' $AA{p}inE$ '' non esiste '' $r>0$ '': $B(p,r)subeE$. Infatti: $AA{p}inE,AAr>0,EEp_1inE^c:p_1inB(p,r)$.
Quindi l'insieme dei punti interni è vuoto: $E°=varphi$.
'' $RR^2$ '' denso, allora: $AA{p}inE,AAr>0,B(p,r)nnE!=varphi,B(p,r)nnE^c!=varphi$. Infatti sia '' $p(x,y)$ '' ( le sue coordinate ).
Allora '' $AAr>0$ '': $p_1inE^c,p_1(x,y+epsilon),0
Nessun punto è interno, quindi '' $E$ '' non aperto. '' $E'=E$ '', quindi '' $E$ '' chiuso.
Consideriamo le ordinate: $INFy_E=miny_E=1;SUPy_E=+oo$. Allora '' $E$ '' non limitato.
Giusto?
2 - $E:={vec {x}inRR^2;x^2-y^2=0}$.
Ma questa non è semplicemente la retta '' $y=x$ ''? Il resto dell'esercizio non lo posto, mi basta sapere quanto appena domandato.
Risposte
Non ho capito questa considerazione
"_GaS_":Poi dovresti scrivere \(\displaystyle p\in E\) e non \(\displaystyle\{p\}\in E\) in quanto \(\displaystyle E\) è un insieme di punti e non un insieme di singleton di punti.
...'' $RR^2$ '' denso, allora:...
- '' $RR^2$ '' denso: in sintesi lo uso in quanto significa: tra due reali vi sono infiniti reali. Quindi se impongo un intorno su un certo '' $p$ '', con '' $r>0$ '', troveremo necessariamente punti diversi da '' $p$ '', in ogni caso ( poiché la metrica è '' favorevole
'', ovvero euclidea ). Per ragionare sui numeri reali basta considerare le coordinate dei punti in '' $RR^n$ ''. '' $0
Al limite metto le tonde, o cambio lettera.
Comunque la soluzione è giusta? Poi, nel secondo esercizio, è giusta l'interpretazione? Sarò troppo prudente, però mi sembra troppo facile che si tratti di '' $y=x$ '', anche se probabilmente è proprio questo.
Rispondo di sfuggita...
L'insieme che hai descritto nel secondo esercizio è sbagliato: essendo una differenza di quadrati... [ot]Puoi utilizzare il tag MathJax per scrivere le formule in LaTeX[/ot]
L'insieme che hai descritto nel secondo esercizio è sbagliato: essendo una differenza di quadrati... [ot]Puoi utilizzare il tag MathJax per scrivere le formule in LaTeX[/ot]
- Mi sembra che il primo esercizio sia corretto, giusto?
-
Dovrebbero essere due rette: $y=x;y=-x$. L'insieme dovrebbe essere l'unione delle rette che ho scritto.
-
Dovrebbero essere due rette: $y=x;y=-x$. L'insieme dovrebbe essere l'unione delle rette che ho scritto.
Del primo esercizio hai sbagliato la fronteria;
del secondo hai detto tutto bene.
del secondo hai detto tutto bene.
Per semplicità basiamoci sul grafico che viene fuori: semirette con ascisse '' $x<=-2vvx>=2$ '' e di equazione '' $y=n,ninNN$ ''.
In questo caso un intorno di ogni punto di '' $E$ '' è un cerchio. Questo ingloba necessariamente ( prima spiegato ) punti di '' $E$ '' e di '' $E^c$ '' per ogni '' $r>0$ ''. Quindi: $partialE=E$.
O almeno è quello che ho fatto.
E sbagli perché:
\[
\partial E=\overline{E}\cap\overline{E^{c}}.
\]
\[
\partial E=\overline{E}\cap\overline{E^{c}}.
\]
La definizione di punto di frontiera che utilizzo è la seguente:
un punto '' $p$ '' è di frontiera se '' $AAr>0,B(p,r)nnA!=varphi,B(p,r)nnA^c!=varphi$ ''.
Comunque anche usando l'altra definizione viene: $bar E=E;bar (E^c)=RR^2$. Da cui:
$bar Ennbar (E^c)=E=partialE$.
O almeno questo ho trovato.
un punto '' $p$ '' è di frontiera se '' $AAr>0,B(p,r)nnA!=varphi,B(p,r)nnA^c!=varphi$ ''.
Comunque anche usando l'altra definizione viene: $bar E=E;bar (E^c)=RR^2$. Da cui:
$bar Ennbar (E^c)=E=partialE$.
O almeno questo ho trovato.
Fatti un disegno. : P
Allora l'unico errore possibile è l'aver inteso male l'insieme.
I grafici non li so mettere, pertanto non mi resta che descriverlo ( comunque è un insieme semplice ). Quindi valutiamo se è corretta l'interpretazione.
L'insieme è l'unione delle semirette: $y=n,ninNN,x<=-2vvx>=2$. Insomma, in ogni retta '' $y=n$ '' c'è un '' buco '' largo da '' $x=-2$ '' a '' $x=2$ ''. Siamo d'accordo sul fatto che '' $E=bar E$ ''.
Quindi '' $E^c$ '' è '' $RR^2$ '' meno tutte quelle semirette. Quindi ogni punto di ogni semiretta è di accumulazione per '' $E^c$ ''. Allora '' $bar (E^c)=E^cuuE^c'=RR^2$ ''. Quindi '' $R^2nnE=E$ '' ( volendo usare '' $partialE=bar Ennbar(E^c)$ '' ), ovvero le semirette stesse.
Ad esempio non può essere '' $partialE=varphi$ ''. Non può essere nemmeno '' $partialE=RR^2$ '' perché se prendiamo '' $P(4,3/2)$ '', che appartiene al complementare, non è vero che per ogni intorno di '' $P$ '' ( basti porre '' $r=1/4$ '' ) vengono inglobati punti di '' $E$ '' e di '' $E'$ ''.
Questo è l'insieme ricavato.
I grafici non li so mettere, pertanto non mi resta che descriverlo ( comunque è un insieme semplice ). Quindi valutiamo se è corretta l'interpretazione.
L'insieme è l'unione delle semirette: $y=n,ninNN,x<=-2vvx>=2$. Insomma, in ogni retta '' $y=n$ '' c'è un '' buco '' largo da '' $x=-2$ '' a '' $x=2$ ''. Siamo d'accordo sul fatto che '' $E=bar E$ ''.
Quindi '' $E^c$ '' è '' $RR^2$ '' meno tutte quelle semirette. Quindi ogni punto di ogni semiretta è di accumulazione per '' $E^c$ ''. Allora '' $bar (E^c)=E^cuuE^c'=RR^2$ ''. Quindi '' $R^2nnE=E$ '' ( volendo usare '' $partialE=bar Ennbar(E^c)$ '' ), ovvero le semirette stesse.
Ad esempio non può essere '' $partialE=varphi$ ''. Non può essere nemmeno '' $partialE=RR^2$ '' perché se prendiamo '' $P(4,3/2)$ '', che appartiene al complementare, non è vero che per ogni intorno di '' $P$ '' ( basti porre '' $r=1/4$ '' ) vengono inglobati punti di '' $E$ '' e di '' $E'$ ''.
Questo è l'insieme ricavato.
Ho sbagliato io il disegno 
[size=85]ho dimenticato la condizione sulla \(\displaystyle y\).[/size]
È tutto corretto!
[size=85]ho dimenticato la condizione sulla \(\displaystyle y\).[/size]È tutto corretto!
Grazie di tutto.
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