Ancora serie...

[carmelo811]

ciao a tutti, ho un problema nel determinare la convergenza e divergenza di una serie, ad es:

$sum_(n=1)^oo(e^(1/n^2)-1)$.

Per prima cosa calcolo il limite per n che tende a infinito: tale lim tende a zero quindi la serie puo sia divergere che convergere.
Nel momento in cui debbo utilizzare il criterio adatto per calcolare la serie, mi blocco...!!
Mi aiutate a capire quale utilizzare in questo esempio please?
grazie mille

[_Tipper]

Usa il criterio del confronto asintotico, ricordando il limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$.

[carmelo811]

ciao e grazie per la risposta...
Mi chiedo:
Per utilizzare il criterio del confronto non devo avere un altra serie $b_n$con cui fare il rapporto?
scusa ma sn alle prime armi...
ciao e grazie

[_Tipper]

Sì, considera quella con termine generale pari a $\frac{1}{n^2}$ (che fra l'altro è proprio l'esponente dell'esponenziale). In questo caso, quando vai a calcolare il rapporto, ottieni un limite notevole, proprio quello che ti avevo segnalato.

[carmelo811]

dunque seguendo i consigli ho scritto $lim_(n->oo) (e^(1/n^2)-1)/(1/n^2)$.

Ponendo $1/(n^2) = x $ ottengo il limite notevole $(e^x-1)/x$ che tende a 1 e da qui deduco che la serie è convergente?
Ciao e grazie ancora

[_Tipper]

Giusto.

[carmelo811]

$sum_(n=1)^oo (e^(1/n)-1)/((-1)^n)$
Questa cn che criteri devo risolverla?
Al den c'è $(-1)^n$ che è una serie alternata...posso utilizzare anche qui il criterio del confronto asintotico dividendo la serie per $(-1)^n$? cosi facendo il limite tende a zero, è giusto?
ciao e grazie

[fu^2]

"carmelo81":$sum_(n=1)^oo (e^(1/n)-1)/((-1)^n)$
Questa cn che criteri devo risolverla?
Al den c'è $(-1)^n$ che è una serie alternata...posso utilizzare anche qui il criterio del confronto asintotico dividendo la serie per $(-1)^n$? cosi facendo il limite tende a zero, è giusto?
ciao e grazie

allora questa nota che è una successione descrescente a termini positivi...

è anc he monotona...

mi riferisco al termine generale e^1/n-1

quel (-1)^n...

applica il criterio di libniz

[fu^2]

"carmelo81":dunque seguendo i consigli ho scritto $lim_(n->oo) (e^(1/n^2)-1)/(1/n^2)$.

Ponendo $1/(n^2) = x $ ottengo il limite notevole $(e^x-1)/x$ che tende a 1 e da qui deduco che la serie è convergente?
Ciao e grazie ancora

nota (magari è già stata fatta o è inutile)

tende a uno, ma non è per quello che è convergente.
è convergente perchè il termine è asintotico a 1/n^2, il quale genera una serie limitata.
quindi anche l'altra serie è convergente.


la serie $e^(1/n)-1$ è asintotica a $1/n$ la quale è la serie armonica ed è illimitata, quindi non converge..


giusto?