Ancora limiti......so il risultato ma nn capisco il perchè!!

[bius88]

ecco questi altri limiti.........vi prego di aiutarmi

1) $lim_(x \to \infty)(x^5+7x^2-3x)/(x^2-x^3+2x)$ essendo il lim ad infinito ed essendo il numeratore >denom il risultato è $oo$ ..................invece deve dare $-oo$

2) $lim_(x->0)(e^(3x)-1)/(xe^x)$ nn so come procedere.........deve dare 3!!

3) $lim_(x->0)(1-e^(x))/(e^x-e^-x)$

aiutatemi......grazie!!

[alberto861]

il secondo sviluppi il numeratore con taylor vicino 0 e ti esce $\frac{3x+o(x)}{xe^x}$ che fa $3$..il terzo sempre con taylor sopra e sotto viene $\frac{x+o(x)}{2x+o(x)}$ che va a $1/2$..il primo può uscire così se il limite è a $-\infty$

[maurer]

Il primo è semplice da capire... invece di applicare la regola meccanicamente hai provato a fare il procedimento? Raccogli i termini di grado maggiore ($x^5$ e $x^3$) e ricalcola il limite... vedrai che ti verrà $-infty$ in ogni caso...
Per il secondo... non conosco il tuo livello di preparazione, ma se conosci gli infinitesimi non dovrebbe essere un gran problema! Sostituisci $e^(3x)-1$ con $3x$ e l'esercizio è risolto... Più facilmente, ricordati il limite notevole $lim_(x \to 0)(e^x-1)/x=1$ e sostituisci $3x=t$ ed il gioco è fatto...
Se guardi il terzo esercizio con un po' d'occhio ti accorgi che può essere riscritto nella forma $lim_(x \to 0)(e^x-1)/(e^x(e^(-2x)-1))$... a questo punto puoi utilizzare la medesima strategia risolutiva del secondo...