Ancora limite

[assoluti]

Vi chiedo lumi sul compito d'esame di calcolo differenziale di oggi... che non ho nemmeno consegnato! Vi posto gli esercizi che non sono riuscito a fare

determinare alfa appartenente a R per il quale il
lim [log(1+x^2)+cosx-1]/[(sinx)^alfa] = 1/2
x->0

L'unico limite notevole che conosco che tende a 1/2 è (1-cosx)/x^2
ho provato in tutti i modi di renderlo simile a questo ma non ci sono riuscito
Grazie, Ivano

[goblyn]

Bisogna ricordare che:

log(1+x)-->x se x-->0

quindi:

log(1+x^2)-->x^2

mentre cos(x)-->1-(x^2)/2

e sin(x)-->x

Sostituisci nel limite:

[(x^2)/2] / [x^alfa] =

= (1/2) x^(2-alfa)

Se alfa=2 il limite vale proprio 1/2

[assoluti]

perché
log(1+x)-->x se x-->0
cos(x)-->1-(x^2)/2
e
sin(x)-->x
???
grazie ancora =)
Ivano

[goblyn]

Sono limiti notevoli o, se vuoi (che è lo stesso), sviluppi in serie di McLaurin al prim'ordine (al second'ordine per il coseno).
Es.:

y=log(1+x)
y'=1/(1+x)

y(0)=0
y'(0)=1

y=y(0)+y'(0)x+errore= x + errore