Ancora limite

[pavonis1]

limite per x che tende a + infinito di

2/3 1/3
x ·(x - 1) - x

[pavonis1]

lo riscrivo perchè non si capisce bene:

limite per x che tende a + infinito di

x^(2/3)*(x-1)^(1/3)-x

[fireball1]

Pare che venga -1/3... Per i passaggi, qualcun altro.

[pavonis1]

Beh il risultato è quello, ma i passaggi?

[goblyn]

riscriviamo:

(x-1)^(1/3) = x^(1/3) * (1-1/x)^(1/3)

La parte in rosso per x-->inf tende a (McLaurin) 1-1/(3x).
Riscriviamo allora:

(x-1)^(1/3) --> x^(1/3) - (1/3)*x^(-2/3)

Sostituiamo nel limite originario:

x^(2/3) * [ x^(1/3) - (1/3)*x^(-2/3) ] - x =

= x - 1/3 - x = -1/3

[pavonis1]

Potresti rispiegarmelo

[MaMo2]

Il limite, senza usare gli sviluppi in serie, si può risolvere sfruttando l'uguaglianza:
a - b = (a^3 - b^3)/(a^2 + ab + b^2)
Nel nostro caso si ha a = (x^3 - x^2)^(1/3) e b = x, perciò si ottiene:
- x^2/((x^3 - x^2)^(2/3) + x(x^3 - x^2)^(1/3) + x^2)
Raccogliendo x^2 sia al numeratore che al denominatore il limite diventa -1/3.

[pavonis1]

Si in questo secondo modo lo avevo già risolto! Cmq gli sviluppi in serie non li o fatti, forse è per questo che non capisco!