[Analisi]Derivate direzionali e parziali
Qualcuno mi può portare l'esempio di calcolo di derivate parziali, direzionali e di una matrice jacobiana???
Tnks
Tnks
Risposte
Allora:
Prendiamo una funzione casuale, per esempio:
$f(x,y) = 2x^2 + 3xy^2 + \ln(y)$
La derivata parziale di $f$ rispetto alla variabile $x$ in $(x_0,y_0)$ è definita nel modo seguente:
$(\partial f)/(\partial x) (x_0,y_0) := \lim_(h->0) (f(x_0 + h, y_0) - f(x_0,y_0))/(h)$
Analogamente si definisce la derivata parziale rispetto a y.
Incominciamo a calcolare la derivata parziale rispetto a x utilizzando la definizione.
Abbiamo:
$\lim_(h->0) (f(x_0 + h, y_0) - f(x_0,y_0))/(h) = \lim_(h->0) (2(x_0 + h)^2 + 3(x_0+h)y_0^2 + \ln(y_0) - (2x_0^2 + 3x_0y_0^2 + \ln(y_0)))/(h) = \lim_(h->0) (2(x_0 + h)^2 + 3(x_0+h)y_0^2 - 2x_0^2 + 3x_0y_0^2)/(h) = \lim_(h->0) (4x_0h + 2h^2 +3hy_0^2)/(h) = \lim_(h->0) (4x_0 + 2h +3y_0^2) = 4x_0 + 3y_0^2 $
E quindi:
$(\partial f)/(\partial x) (x,y) = 4x + 3y^2$
In pratica è come derivare normalmente rispetto a x prendendo l'altra variabile y come una costante quando derivi.
Ti lascio il calcolo della derivata parziale rispetto a y.
Il gradiente di una funzione f, è un'operatore di derivazione, cioè una funzione $\nabla f: R^n \to R^n$ definita nel modo seguente:
$\nabla f(x_1,x_2, ..., x_n) = \nabla f(x) := ( (\partial f)/(\partial x_1) (x) , ..., (\partial f)/(\partial x_n) (x))$
In pratica un vettore, in cui in ogni componente c'è la derivata parziale rispetto ad una variabile.
Calcoliamo il gradiente della funzione definita sopra:
$\nabla f(x,y) = ( (\partial f)/(\partial x) (x,y), (\partial f)/(\partial y) (x,y) ) = (4x + 3y^2, 6xy + 1/y)$
Una derivata direzionale rispetto ad un dato versore $e:= (e_1,e_2)$, $||e|| = 1$, in $(x_0, y_0)$ è per definizione
$D_e f(x_0,y_0) = \lim_(t->0+) (f(x_0+te_1, y_0 + te_2) - f(x_0,y_0))/(t)$
NB: è una quantità scalare!
Si può dimostrare che la derivata direzionale è uguale al gradiente di f in $(x_0,y_0)$ moltiplicato scalarmente per il versore $e$, cioè
$D_e f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0) * e$
Prendiamo per esempio:
$f(x,y) = x^2 + y^2$
Il gradiente di f è:
$\nabla f(x,y) = (2x, 2y)$
Calcoliamo per esempio la derivata direzionale rispetto al versore $e = (0,1)$ nel punto $(2,3)$, utilizzando la relazione con il gradiente:
$D_e f(2,3) = \nabla f(2,3) * e = (4,6)*(0,1) = 6$
Posto una nuova risposta per la matrice Jacobiana...
Ciao!
Prendiamo una funzione casuale, per esempio:
$f(x,y) = 2x^2 + 3xy^2 + \ln(y)$
La derivata parziale di $f$ rispetto alla variabile $x$ in $(x_0,y_0)$ è definita nel modo seguente:
$(\partial f)/(\partial x) (x_0,y_0) := \lim_(h->0) (f(x_0 + h, y_0) - f(x_0,y_0))/(h)$
Analogamente si definisce la derivata parziale rispetto a y.
Incominciamo a calcolare la derivata parziale rispetto a x utilizzando la definizione.
Abbiamo:
$\lim_(h->0) (f(x_0 + h, y_0) - f(x_0,y_0))/(h) = \lim_(h->0) (2(x_0 + h)^2 + 3(x_0+h)y_0^2 + \ln(y_0) - (2x_0^2 + 3x_0y_0^2 + \ln(y_0)))/(h) = \lim_(h->0) (2(x_0 + h)^2 + 3(x_0+h)y_0^2 - 2x_0^2 + 3x_0y_0^2)/(h) = \lim_(h->0) (4x_0h + 2h^2 +3hy_0^2)/(h) = \lim_(h->0) (4x_0 + 2h +3y_0^2) = 4x_0 + 3y_0^2 $
E quindi:
$(\partial f)/(\partial x) (x,y) = 4x + 3y^2$
In pratica è come derivare normalmente rispetto a x prendendo l'altra variabile y come una costante quando derivi.
Ti lascio il calcolo della derivata parziale rispetto a y.
Il gradiente di una funzione f, è un'operatore di derivazione, cioè una funzione $\nabla f: R^n \to R^n$ definita nel modo seguente:
$\nabla f(x_1,x_2, ..., x_n) = \nabla f(x) := ( (\partial f)/(\partial x_1) (x) , ..., (\partial f)/(\partial x_n) (x))$
In pratica un vettore, in cui in ogni componente c'è la derivata parziale rispetto ad una variabile.
Calcoliamo il gradiente della funzione definita sopra:
$\nabla f(x,y) = ( (\partial f)/(\partial x) (x,y), (\partial f)/(\partial y) (x,y) ) = (4x + 3y^2, 6xy + 1/y)$
Una derivata direzionale rispetto ad un dato versore $e:= (e_1,e_2)$, $||e|| = 1$, in $(x_0, y_0)$ è per definizione
$D_e f(x_0,y_0) = \lim_(t->0+) (f(x_0+te_1, y_0 + te_2) - f(x_0,y_0))/(t)$
NB: è una quantità scalare!
Si può dimostrare che la derivata direzionale è uguale al gradiente di f in $(x_0,y_0)$ moltiplicato scalarmente per il versore $e$, cioè
$D_e f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0) * e$
Prendiamo per esempio:
$f(x,y) = x^2 + y^2$
Il gradiente di f è:
$\nabla f(x,y) = (2x, 2y)$
Calcoliamo per esempio la derivata direzionale rispetto al versore $e = (0,1)$ nel punto $(2,3)$, utilizzando la relazione con il gradiente:
$D_e f(2,3) = \nabla f(2,3) * e = (4,6)*(0,1) = 6$
Posto una nuova risposta per la matrice Jacobiana...
Ciao!
Una matrice Jacobiana è una matrice che generalizza il concetto di derivata in più dimensioni. Ha importanti conseguenze per lo studio delle funzioni implicite e calcolo di integrali multipli.
Prendiamo una funzione
$f: R^n \to R^m$
$f$ è detta differenziabile in $\zeta \in R$ se esiste una funzione lineare $A: R^n \to R^m$ per cui vale
$f(x) = f(\zeta) + A*(x- \zeta) + o(|x-\zeta|)$
A è detta matrice di Jacobi di f.
Si può dimostrare che le componenti della matrice Jacobiana sono:
$A_(ij) = (\partial f_i)/(\partial x_j) (\zeta)$
dove
$f(x) = (f_1(x), ..., f_m(x)), 1\ le i \le m, 1 \le j \le n$
Prima di considerare un esempio, guardiamo il caso di una funzione scalare, ovvero:
$f: R^n \to R$
$(x_1,...,x_n) \mapsto f(x_1,...,x_n)$
f(x) in questo caso non è un vettore, perciò la mia matrice di Jacobi sarà:
$A_i = (\partial f)/(\partial x_i) (\zeta), 1 \le i \le n$
Ma questo vuol dire che:
$A = ( (\partial f)/(\partial x_1) (\zeta), (\partial f)/(\partial x_2) (\zeta), ..., (\partial f)/(\partial x_n) (\zeta)) $
cioè $A = \nabla f(x)$.
Perciò calcolare la matrice di Jacobi nel caso la funzione sia scalare è come calcolare il gradiente di f.
Facciamo un esempio:
$f: R^2 \to R^2$
$f(x,y) = (x^2 + y, y^3 + x)$
La matrice di Jacobi é quindi:
$( 2x , 1 ; 1 , 3y^2)$
(con il punto e virgola vado a capo)
Vuoi qualche altro esempio?
Ciao!
Prendiamo una funzione
$f: R^n \to R^m$
$f$ è detta differenziabile in $\zeta \in R$ se esiste una funzione lineare $A: R^n \to R^m$ per cui vale
$f(x) = f(\zeta) + A*(x- \zeta) + o(|x-\zeta|)$
A è detta matrice di Jacobi di f.
Si può dimostrare che le componenti della matrice Jacobiana sono:
$A_(ij) = (\partial f_i)/(\partial x_j) (\zeta)$
dove
$f(x) = (f_1(x), ..., f_m(x)), 1\ le i \le m, 1 \le j \le n$
Prima di considerare un esempio, guardiamo il caso di una funzione scalare, ovvero:
$f: R^n \to R$
$(x_1,...,x_n) \mapsto f(x_1,...,x_n)$
f(x) in questo caso non è un vettore, perciò la mia matrice di Jacobi sarà:
$A_i = (\partial f)/(\partial x_i) (\zeta), 1 \le i \le n$
Ma questo vuol dire che:
$A = ( (\partial f)/(\partial x_1) (\zeta), (\partial f)/(\partial x_2) (\zeta), ..., (\partial f)/(\partial x_n) (\zeta)) $
cioè $A = \nabla f(x)$.
Perciò calcolare la matrice di Jacobi nel caso la funzione sia scalare è come calcolare il gradiente di f.
Facciamo un esempio:
$f: R^2 \to R^2$
$f(x,y) = (x^2 + y, y^3 + x)$
La matrice di Jacobi é quindi:
$( 2x , 1 ; 1 , 3y^2)$
(con il punto e virgola vado a capo)
Vuoi qualche altro esempio?
Ciao!
se me ne hai ancora uno ti ringrazio molto 
quindi se $f(x,y) = 2x^2 + 4x + 2y $
Allora $D_x f(x,y) = 4x + 4$ e $D_y f(x,y) = 2$ ??
Allora $D_x f(x,y) = 4x + 4$ e $D_y f(x,y) = 2$ ??
Si si, tutto giusto
Ecco un altro esempio:
$f: R^3 \to R^2$
$f(x,y,z) = ( (2x^2 + xyz), (3z/x + y))$
Vogliamo calcolare la matrice di Jacobi.
La matrice di Jacobi sarà una matrice 2x3, visto che $f(x,y,z)$ è un vettore di 2 colonne e ci sono 3 variabili.
Perciò, sapendo che $f_1= 2x^2 + xyz$ , $f_2 = 3z/x + y$, abbiamo:
$A = (((\partial f_1) / (\partial x), (\partial f_1) / (\partial y), (\partial f_1) / (\partial z)),((\partial f_2) / (\partial x), (\partial f_2) / (\partial y), (\partial f_2) / (\partial z)))=((4x + yz, xz, xy),((-3z)/(x^2) , 1, 3/x))$
Cosa state facendo adesso ad analisi? Queste cose?
Ciao!
Ecco un altro esempio:
$f: R^3 \to R^2$
$f(x,y,z) = ( (2x^2 + xyz), (3z/x + y))$
Vogliamo calcolare la matrice di Jacobi.
La matrice di Jacobi sarà una matrice 2x3, visto che $f(x,y,z)$ è un vettore di 2 colonne e ci sono 3 variabili.
Perciò, sapendo che $f_1= 2x^2 + xyz$ , $f_2 = 3z/x + y$, abbiamo:
$A = (((\partial f_1) / (\partial x), (\partial f_1) / (\partial y), (\partial f_1) / (\partial z)),((\partial f_2) / (\partial x), (\partial f_2) / (\partial y), (\partial f_2) / (\partial z)))=((4x + yz, xz, xy),((-3z)/(x^2) , 1, 3/x))$
Cosa state facendo adesso ad analisi? Queste cose?
Ciao!
"pat87":
Allora:
Prendiamo per esempio:
$f(x,y) = x^2 + y^2$
Il gradiente di f è:
$\nabla f(x,y) = (2x, 2y)$
Calcoliamo per esempio la derivata direzionale rispetto al versore $e = (0,1)$ nel punto $(2,3)$, utilizzando la relazione con il gradiente:
$D_e f(2,3) = \nabla f(2,3) * e = (4,6)*(0,1) = 6$
quindi $D_e f(3,4) = \nabla f(2,3) * e = (9,16)*(0,1) = 16$??
"pat87":
Cosa state facendo adesso ad analisi? Queste cose?
Ciao!
Venerdì abbiamo fatto esercitazione sul Dini e lune cominciamo l'ultimo capitolo di Analisi A Integrali e Misure
"pat87":
Si si, tutto giusto
Ecco un altro esempio:
$f: R^3 \to R^2$
$f(x,y,z) = ( (2x^2 + xyz), (3z/x + y))$
Vogliamo calcolare la matrice di Jacobi.
La matrice di Jacobi sarà una matrice 2x3, visto che $f(x,y,z)$ è un vettore di 2 colonne e ci sono 3 variabili.
Perciò, sapendo che $f_1= 2x^2 + xyz$ , $f_2 = 3z/x + y$, abbiamo:
$A = (((\partial f_1) / (\partial x), (\partial f_1) / (\partial y), (\partial f_1) / (\partial z)),((\partial f_2) / (\partial x), (\partial f_2) / (\partial y), (\partial f_2) / (\partial z)))=((4x + yz, xz, xy),((-3z)/(x^2) , 1, 3/x))$
Cosa state facendo adesso ad analisi? Queste cose?
Ciao!
con questo esempio mi hai acceso una luce.... grazie molte
Ora ne manca ancora un'altro sul gradiente e ci sono
In realtà, relativamente a questi argomenti, devo ancora capire bene cos'è l' Insieme di livello[1] ...
[1] http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_livello
[1] http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_livello
"Luc@s":
[quote="pat87"]Allora:
Prendiamo per esempio:
$f(x,y) = x^2 + y^2$
Il gradiente di f è:
$\nabla f(x,y) = (2x, 2y)$
Calcoliamo per esempio la derivata direzionale rispetto al versore $e = (0,1)$ nel punto $(2,3)$, utilizzando la relazione con il gradiente:
$D_e f(2,3) = \nabla f(2,3) * e = (4,6)*(0,1) = 6$
quindi $D_e f(3,4) = \nabla f(2,3) * e = (9,16)*(0,1) = 16$??[/quote]
No qui hai sbagliato:
Se volessi calcolare la derivata direzionale di f in $(3,4)$ con il versore $e = (0,1)$, hai già il gradiente di f che è $\nabla f(x,y) = (2x, 2y)$, perciò sarà:
$D_e f(3,4) = \nabla f(3,4) * e = (2*3, 4*2) *(0,1) = 8$
Ricordati che la moltiplicazione tra i due vettori è un prodotto scalare! Moltiplichi le componenti e poi sommi il tutto!
"pat87":
No qui hai sbagliato:
Se volessi calcolare la derivata direzionale di f in $(3,4)$ con il versore $e = (0,1)$, hai già il gradiente di f che è $\nabla f(x,y) = (2x, 2y)$, perciò sarà:
$D_e f(3,4) = \nabla f(3,4) * e = (2*3, 4*2) *(0,1) = 8$
Ricordati che la moltiplicazione tra i due vettori è un prodotto scalare! Moltiplichi le componenti e poi le sommi!
Me ne sono accorto ora
Li avevo visti al quadrato x e y...
ora ho capito... grazie mille per l'aiuto...
Come avevo gia avuto modo di capire questo forum si conferma di altissimo livello
Come avevo gia avuto modo di capire questo forum si conferma di altissimo livello
Di nulla! È stato un piacere! Ho anche ripassato e rispolverato un po' di cose che avevo fatto l'anno scorso e che incominciavo a dimenticare!
Ciao!
Ciao!
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