[Analisi2] Integrale Curvilineo e Formule di Gauss-Green
Quest'esercizio mi sà di tanto di surrealismo:
Utilizzando le formule di Gauss-Green calcolare:
$int_gamma(sinx+3y^2)dx + (2x-e^(-y^2))dy$
dove $gamma$ è la frontiera orientata positivamente di $D={(x,y) : x^2+y^2<=1,y>=0}$.
Come utilizzare Gauss-Green? Derivando il primo termine dell'integrale rispetto a y e il secondo rispetto a x, creando un singolo integrale doppio rispetto a dxdy poi risolvere sostituendo ${(x=sqrt(2)cosx),(y=sqrt(2)senx):}$ ? Ma così perdo sistematicamente il senx per esempio al primo termine. Per favore aiutatemi, domattina ESAME!
Grazie mille a tutti,
Luca
Utilizzando le formule di Gauss-Green calcolare:
$int_gamma(sinx+3y^2)dx + (2x-e^(-y^2))dy$
dove $gamma$ è la frontiera orientata positivamente di $D={(x,y) : x^2+y^2<=1,y>=0}$.
Come utilizzare Gauss-Green? Derivando il primo termine dell'integrale rispetto a y e il secondo rispetto a x, creando un singolo integrale doppio rispetto a dxdy poi risolvere sostituendo ${(x=sqrt(2)cosx),(y=sqrt(2)senx):}$ ? Ma così perdo sistematicamente il senx per esempio al primo termine. Per favore aiutatemi, domattina ESAME!
Grazie mille a tutti,
Luca
Risposte
Il tuo integrale usando Gauss Green diventa (derivando i termini come hai detto)
$\int_{D} (2 - 6y)dxdy$
D è semplicemente il semicerchio superiore di raggio unitario (con bordo). Puoi usare $x \in [-1,1]$ e $y \in [0, \sqrt(1 - x^2)]$, oppure passare a coordinate polari.
$\int_{D} (2 - 6y)dxdy$
D è semplicemente il semicerchio superiore di raggio unitario (con bordo). Puoi usare $x \in [-1,1]$ e $y \in [0, \sqrt(1 - x^2)]$, oppure passare a coordinate polari.
Non fà niente che perdo i termini $sinx$ e $e^-(y^2)$? In ogni caso, l'avevo già risolto esattamente come dicevi tu, grazie infinitamente. Ora si che posso sostenere l'esame serenamente (si fà per dire).
Vista la validità del teorema di Gauss-Green non ha importanza se hai perso quei termini
"LipschitzianaMente":
risolvere sostituendo ${(x=sqrt(2)cosx),(y=sqrt(2)senx):}$ ? Ma così perdo sistematicamente il senx per esempio al primo termine.
Beh attento a come parametrizzi la semicirconferenza... direi che chiamare il parametro $x$ non è una buona scelta, concordi?
E quel $sqrt2$ da dove esce (nell'espressione di $D$ figura la disequazione $x^2+y^2<=1$...)?
"LipschitzianaMente":
[...] domattina ESAME!
Tanto per curiosità... Frequenti qualche ingegneria a Napoli?
Allora $sqrt(2)$ è il raggio della circonferenza; e proprio essendo la curva una circonferenza la rappresentazione in cos e sen mi sembrava quella più appropriata, se non necessaria data la frontiera.
Tanto per curiosità... Frequenti qualche ingegneria a Napoli?[/quote]
Precisamente Elettronica, UniNa.
Tanto per curiosità... Perchè me lo domandi?
"Gugo82":
[quote="LipschitzianaMente"][...] domattina ESAME!
Tanto per curiosità... Frequenti qualche ingegneria a Napoli?[/quote]
Precisamente Elettronica, UniNa.
Tanto per curiosità... Perchè me lo domandi?
"LipschitzianaMente":
Allora $sqrt(2)$ è il raggio della circonferenza; e proprio essendo la curva una circonferenza la rappresentazione in cos e sen mi sembrava quella più appropriata, se non necessaria data la frontiera.
Ah ok, allora avevi semplicemente sbagliato a scrivere $D$ (infatti l'equazione del cerchio di centro $o$ e raggio $sqrt2$ è $x^2+y^2<=2$, non $x^2+y^2<=1$).
"LipschitzianaMente":
[quote="Gugo82"]Tanto per curiosità... Frequenti qualche ingegneria a Napoli?
Precisamente Elettronica, UniNa.
Tanto per curiosità... Perchè me lo domandi?[/quote]
Perchè so che oggi c'erano esami di Analisi per alcune ingegnerie (per la precisione sapevo certamente dell'esame per Scienza ed Ingegneria dei Materiali).
Si esatto, credevo anche di averlo corretto, confermo la tua equazione.
Comunque è andata bene. Meno male, ora si aspettano i risultati, e poi l'orale.
Comunque è andata bene. Meno male, ora si aspettano i risultati, e poi l'orale.
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