Analisi II, aiuto sullo svolgimento di un integrale doppio
Salve a tutti, scrivo per chiedervi un aiuto su un integrale doppio che mi causa un po' di problemi! Inizialmente non mi sembrava così difficile, poi mi sono bloccato una volta "scomposto" l'integrale doppio. Se possibile, vorrei magari che qualcuno me lo spiegasse con dei macropassaggi! Ringrazio anticipatamente!
$int int_(T)(1+2x) /|x+y|dxdy$
Con T: $1leqxleq2$ e $0leqyleqx^2$
$int int_(T)(1+2x) /|x+y|dxdy$
Con T: $1leqxleq2$ e $0leqyleqx^2$
Risposte
Il modulo non dovrebbe crearti problemi, visto che entrambe le variabili sono positive. Dopodiché, integrare rispetto a $y$, non è difficile, visto che compare soltanto al denominatore. Fatto questo, ti rimane da integrare rispetto a $x$ ed è un integrale a una variabile. E' a questo punto che incontri difficoltà? Magari scrivi fin dove sei arrivato, perché non ho fatto i calcoli, quindi non so come viene l'integrale dopo aver già integrato rispetto alla $y$.
Esattamente! Ho ragionato proprio in questo modo; mi sono bloccato qui:
$int_(0)^(1)2x+1int_(0)^(x^2) 1/(x+y)$
quindi ho
$int_(0)^(1)2x+1 [ln(x+y)]_ (0) ^ (x^2)$
e poi
$int_(0)^(1)2x+1+ ln(x+x^2)+ ln(x)dx$
ecco, io non sono sicuro di questo passaggio perchè una volta risolti gli integrali singoli, li mio risultato non coincide con quello corretto.
$int_(0)^(1)2x+1int_(0)^(x^2) 1/(x+y)$
quindi ho
$int_(0)^(1)2x+1 [ln(x+y)]_ (0) ^ (x^2)$
e poi
$int_(0)^(1)2x+1+ ln(x+x^2)+ ln(x)dx$
ecco, io non sono sicuro di questo passaggio perchè una volta risolti gli integrali singoli, li mio risultato non coincide con quello corretto.
forse dovevi scriverlo in questo modo e di conseguenza poi viene diverso...
$int_(0)^(1)(2x+1)*int_(0)^(x^2)1/(x+y)dydx$
$int_(0)^(1)(2x+1)*int_(0)^(x^2)1/(x+y)dydx$
Ehm, hai sbagliato estremi di integrazione. Sopra avevi detto che $1<=x<=2$ 
Inoltre hai, $int_(1)^(2)(2x+1)*(int_(0)^(x^2)1/(x+y)dy)dx=int_(1)^(2)(2x+1)*[ln(x+y)]_(0)^(x^2)dx=int_(1)^(2)(2x+1)*(ln(x+x^2)-ln(x))dx$.
Per come avevi messo le parentesi avresti moltiplicato solo per $1$, invece anche $2x$ moltiplica la parte integrata rispetto a $y$. E poi ovviamente devi sottrarre, non aggiungere $ln(x)$.
Inoltre hai, $int_(1)^(2)(2x+1)*(int_(0)^(x^2)1/(x+y)dy)dx=int_(1)^(2)(2x+1)*[ln(x+y)]_(0)^(x^2)dx=int_(1)^(2)(2x+1)*(ln(x+x^2)-ln(x))dx$.
Per come avevi messo le parentesi avresti moltiplicato solo per $1$, invece anche $2x$ moltiplica la parte integrata rispetto a $y$. E poi ovviamente devi sottrarre, non aggiungere $ln(x)$.
"Antimius":
Ehm, hai sbagliato estremi di integrazione. Sopra avevi detto che $1<=x<=2$
esatto, non avevo notato anche questo dettaglio
Per quanto riguarda gli estremi di integrazione della x e del segno di $ln(x)$, sono stati errori di scrittura!
Comunque, ho capito il mio errore, forse di distrazione, e quindi arrivo qui:
$int_(1)^(2)2xln(x^2+x)-2xln(x)+ln(x^2+x)-ln(x)dx$
a questo punto l'integrazione è un po' laboriosa, visto che bisogna integrare per parti dappertutto; l'ho fatto e in ogni caso non viene, e ho paura di aver commesso qualche altro errore; per esempio, l'integrale $int2xln(x^2+x)$ già da solo è parecchio "antipatico"!
Comunque, ho capito il mio errore, forse di distrazione, e quindi arrivo qui:
$int_(1)^(2)2xln(x^2+x)-2xln(x)+ln(x^2+x)-ln(x)dx$
a questo punto l'integrazione è un po' laboriosa, visto che bisogna integrare per parti dappertutto; l'ho fatto e in ogni caso non viene, e ho paura di aver commesso qualche altro errore; per esempio, l'integrale $int2xln(x^2+x)$ già da solo è parecchio "antipatico"!
"ale.253":
arrivo qui:
$int_(1)^(2)2xln(x^2+x)-2xln(x)+ln(x^2+x)-ln(x)dx$
a questo punto l'integrazione è un po' laboriosa, visto che bisogna integrare per parti dappertutto; l'ho fatto e in ogni caso non viene, e ho paura di aver commesso qualche altro errore; per esempio, l'integrale $int2xln(x^2+x)$ già da solo è parecchio "antipatico"!
Ma perchè hai sviluppato la funzione integranda?
Ti bastava lavorare sulla differenza dei logaritmi per avere subito $int_(1)^(2)(1+2x)ln(x+1)dx$ e questo è abbastanza rapido da risolvere.
Io scriverei l'integrale nella forma $int_(1)^(2) (2x+1)*ln(x+1)dx$ sfruttando la proprietà dei logaritmi.
Poi integri per parti i due fattori, così ti togli il logaritmo di mezzo. Alla fine ti viene una funzione razionale, che dovresti saper integrare
Edit: sono stato preceduto -_-
Poi integri per parti i due fattori, così ti togli il logaritmo di mezzo. Alla fine ti viene una funzione razionale, che dovresti saper integrare
Edit: sono stato preceduto -_-
Grazie a tutti! Molto gentili e disponibili! Non avevo pensato alla differenza dei logaritmi!
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