[Analisi] Funzione a due variabili: annullamento derivata prima

[giuseppepiccinno]

Ciao a tutti, mi sto cimentando sullo studio dei massimi e minimi delle funzioni a due variabili.
Vorrei proporvi questo esercizio

\(\displaystyle f(x,y) = (-2xy+5x+y+1)^8 \)

ho proceduto a fare la derivata prima rispeto a x e rispetto a y e ottengo
\(\displaystyle f'(x) = 8(-2xy+5x+y+1)^7(-2y+5) \)
\(\displaystyle f'(y) = 8(-2xy+5x+y+1)^7(-2x+1) \)

ora devo procedere ad annullare le due derivate mettendole in sistema giusto?
devo dire che mi sono impantanato qua. è un caso un pò complicato. Che fare?

[cooper1]

il procedimento è corretto devi risolvere il sistema
$ { ( 8(-2xy+5x+y+1)^7(-2y+5)=0 ),( 8(-2xy+5x+y+1)^7(-2x+1)=0 ):} $
per risolverlo poni prima x=1/2 poi $x!=1/2$ e isoli la y nel primo fattore della seconda equazione e svolgi i calcoli

[giuseppepiccinno]

d'accordo alla x = 1/2 ero arrivato, sostituita alla prima equazione ottengo y=5/2

non ho capito di x diverso da 1/2 cosa intendi.

[cooper1]

perchè la seconda equazione si annullile possibilità sono due: o si annulla la seconda parentesi (ovvero quando x=1/2) o si annulla la prima. in questo ultimo caso vuol dire che la seconda parentesi non è zero, per cui $x!=1/2$. tenendo presente questo annulli la prima parentesi e risvolgi i calcoli

[giuseppepiccinno]

vediamo se ho capito. se io pongo x diverso da 1/2 impongo la prima parentesi della seconda equazione uguale a 0. il che mi porta a un risultato y=..... da sostituire nella prima giusto? porre tutto il contenuto elevato a 7 uguale a 0 equivale a dire che il contenuto deve essere uguale a 0 e questo succede solo se y= -(5x+1)/(1-2x)

[cooper1]

esatto