Analisi equazioni non elementari

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Dimostrare che l'equazione $x(x-e^(-x))=1$ ammette almeno due soluzioni in $]-oo, +oo[$

ho provato e risolverlo così:
Sia $f(x)=x(x-e^(-x))-1$
Svolgendo i calcoli la derivata è:
$f'(x)= (2xe^x+x-1)/e^x$

$f'(x)=0 <=> x=-1$

cioè la funzione si annulla solo nel punto $x=-1$ ed è crescente in $]-oo, +oo[$
Come dimostro che ammette almeno due soluzioni ?

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credo di aver commesso un errore
è decrescente in $]-oo, -1[$ e crescente in $]-1, +oo[$

$lim_(x->+- oo) f(x)=+oo $

quindi nei due intervalli $]-oo, -1[$ e $]-1, +oo[$ deve ammettere uno zero, quindi l'equazione ha almeno due soluzioni (al più due soluzioni).

é giusto così?

[pilloeffe]

Ciao Smon97,

"Smon97":é giusto così?

No. Innanzitutto non mi risulta che la derivata prima si annulli in $x = - 1 $, ma in $x_{min} ~~ 0,2752 $ (ottenuto numericamente). Poi siccome ad esempio $f(0) = - 1 $ ed è vero che

"Smon97":$ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = +\infty $

allora è vero che l'equazione proposta ammette almeno due soluzioni in $(-\infty,+\infty) $
In realtà sono proprio due e sono comprese nell'intervallo $[-1, 2] $

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Mi può spiegare il perché è vero che ammette due soluzioni ? E come le determino? Mi manca questo passaggio

[pilloeffe]

Beh, prova a pensarci: se una funzione continua passa da valori positivi ($\lim_(x \to -\infty) f(x)=+\infty $) a valori negativi ($f(0) = - 1 $) a valori ancora positivi ($\lim_(x \to +\infty) f(x)=+\infty $) almeno un paio di volte l'asse delle ascisse lo dovrà attraversare, no?
Per determinare che effettivamente sono solo due si può studiare il segno della funzione $f(x) $, oppure anche graficamente:

${(y = 1),(y = x(x-e^(-x))):}$

"pilloeffe":In realtà sono proprio due e sono comprese nell'intervallo $[−1,2]$

Per trarre questa conclusione ho fatto qualche tentativo mirato:

$f(- 1) > 0 $
$f(0) = - 1 < 0 $
$f(2) > 0 $

Si conclude quanto ho scritto nel mio post precedente.

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perfetto grazie.