Analisi complessa: singolarità eliminabile

[blackout91]

Salve a tutti ragazzi volevo chiedervi un'informazione; studiando e facendo esercizi su argomenti quali polo , residui e singolarità mi sorge qualche dubbio. " si puo dire che il residuo di una singolarità eliminabile sia sempre nullo?? e se si perché ?"

[Seneca1]

Certo che sì. Il residuo non è altro che il coefficiente della potenza negativa $(z - z_0)^(-1)$ nello sviluppo di Laurent della funzione in una corona circolare che circonda il punto di singolarità.

Se la singolarità in quel punto è rimovibile, la serie di Laurent è una serie di Taylor in cui non compaiono potenze negative.

[gugo82]

Attenzione, però... Quanto detto da Seneca vale solo se la singolarità è al finito.

Ad esempio, la funzione \(f(z):=1/z\) ha una singolarità eliminabile in \(\infty\), perché \(\displaystyle \lim_{z\to \infty} f(z)=0\), però il residuo all'infinito non è nullo.
Infatti, usando la definizione, si trova:
\[
\operatorname{Res} \Big( f(z);\infty \Big) := \operatorname{Res} \left( -\frac{1}{w^2}\ f\left( \frac{1}{w}\right); 0\right) = \operatorname{Res} \left( -\frac{1}{w}; 0\right) =-1\neq 0\; .
\]