Analisi Complessa, problema con i residui

[whowas]

$ int_(gamma) (e^z)/((z^2 +1)*(z^2 + 9)) dz $
Dove $ gamma $ é il bordo di T definito da:
$ T = { z=x+iy in C : |x| <= 2, x-2 <= y <= x+2 } $
Non riesco a trovare le soluzioni, perché ho problemi nel riconoscere dove stanno i residui, oltre al fatto che l'integrale mi ritorna un risultato complesso. Potete aiutarmi?

[Oiram92]

hai provato a disegnare T ? Cosa hai ottenuto ?

[whowas]

scusa per il grafico pessimo, dovrebbe essere così.
Comunque scrivo la mia soluzione ma non so se è giusto il mio ragionamento.
io ho trovato 4 singolarità, $ z = i $, $ z = -i $, $ z = 3i $, $ z = -3i $. Tutte è 4 le singolarità sono poli semplici, tuttavia il grado del denominatore tre, applico il teorema dei residui sui poli che hanno immagine>0 e sono contenuti nel dominio, ovvero $ z = i $.

Quindi ottengo:
$ int e c c... dz = 2 pi i * lim_(z->i) (e^z)/((z+i)(z^2+9)) = 2 pi i * e^i/(16i) = e^i / 8 $

[Oiram92]

"whowas":applico il teorema dei residui sui poli che hanno immagine>0 e sono contenuti nel dominio, ovvero $ z = i $.

perchè consideri solo i poli che hanno parte immaginaria (non immagine) positiva? Il dominio che hai tracciato è corretto e ti da tutte le informazioni di cui necessiti per risolvere l'integrale! Infatti, il teorema dei residui ci dice di calcolare i residui nei punti isolati (poli) interni al dominio di integrazione (ovvero l'insieme \(\displaystyle T \)). Non vedo scritto da nessuna parte che bisogna considerare solo quelli aventi parte immaginaria positiva. Se avessi avuto un dominio del tipo semicirconferenza allora in quel caso era corretto il ragionamento ma solo perchè il tuo dominio era fatto in quel modo! Qui siamo nel caso in cui il dominio ha quella forma che contiene sia il polo in \(\displaystyle z=i \) che il polo in \(\displaystyle z=-i \) quindi il risultato dell'integrale sarà (a meno del fattore moltiplicativo \(\displaystyle 2 \pi \;i \)) pari alla somma dei residui calcolati in \(\displaystyle \pm i \). Chiaro il perchè ?

[whowas]

Sinceramente non ho ben capito il perchè dovrei prendere anche il polo negativo. Non riesco ad orientarmi su quali poli prendere quando mi trovo davanti ad un qualsiasi dominio. Mi fido per quanto riguarda i conti e poi ci provo, tuttavia potresti spiegarmi a quale teorema si riferisce il fatto di scegliere i poli? Io sapevo che se il grado del denominatore è più grande di almeno due gradi del numeratore allora devo escludere i poli che hanno parte immaginaria negativa.

[Light_1]

Credo che tu intenda parlare del lemma di Jordan.
Comunque sia per l'integrale stai utilizzando il teorema dei residui, potresti considerare i poli interni al dominio .

[whowas]

Ciao grazie per la risposta, non so se é il teorema di Jordan comunque ha lezione mi é stato dato per certo questo corollario:

[Light_1]

Qual' è il cammino di integrazione considerato in quel corollario?

Un consiglio, vattelo a legge sto lemma

[whowas]

Eheh XD non ho proprio idea riguardo il cammino di integrazione, purtroppo quando vengono certe persone a spiegati gli argomenti in modi un pò propri si capisce ben poco. Perdona la mia non chiarezza, ma é esattamente chiara come la confusione che ho in testa grazie mille comunque.