Analisi complessa
Ciao, qualcuno mi sa spiegare questo esercizi e le simbologie con i segni maggiore,minore?
L'esercizio l'ho capito fino a quando cambia gli estremi dell'integrale ma poi da dove ha scritto "allora:" non riesco a capire
L'esercizio l'ho capito fino a quando cambia gli estremi dell'integrale ma poi da dove ha scritto "allora:" non riesco a capire
Risposte
Questa è Teoria delle Distribuzioni, non Analisi Complessa... 
Ad ogni modo, se $T$ è una distribuzione sullo spazio delle funzioni test $C_c^oo (RR)$, il valore assunto dalla distribuzione $T$ sul generico test $\phi$ si denota oltre che col classico simbolo $T(\phi)$ anche col simbolo:
\[
\langle T , \phi \rangle
\]
che viene detto prodotto di dualità.
Detto ciò, l'esercizio (che poi altro non è che il calcolo della derivata distribuzionale del gradino unitario) si spiega da solo... Quello che si sta facendo è usare la definizione di derivata distribuzionale, il fatto (noto da Analisi I) che l'integrale di $\phi^\prime$ coincide con $\phi$ e che $\phi$ è nulla all'infinito (perché ha supporto compatto).
Ad ogni modo, se $T$ è una distribuzione sullo spazio delle funzioni test $C_c^oo (RR)$, il valore assunto dalla distribuzione $T$ sul generico test $\phi$ si denota oltre che col classico simbolo $T(\phi)$ anche col simbolo:
\[
\langle T , \phi \rangle
\]
che viene detto prodotto di dualità.
Detto ciò, l'esercizio (che poi altro non è che il calcolo della derivata distribuzionale del gradino unitario) si spiega da solo... Quello che si sta facendo è usare la definizione di derivata distribuzionale, il fatto (noto da Analisi I) che l'integrale di $\phi^\prime$ coincide con $\phi$ e che $\phi$ è nulla all'infinito (perché ha supporto compatto).
"gugo82":
Questa è Teoria delle Distribuzioni, non Analisi Complessa...
Ad ogni modo, se $T$ è una distribuzione sullo spazio delle funzioni test $C_c^oo (RR)$, il valore assunto dalla distribuzione $T$ sul generico test $\phi$ si denota oltre che col classico simbolo $T(\phi)$ anche col simbolo:
\[
\langle T , \phi \rangle
\]
che viene detto prodotto di dualità.
Detto ciò, l'esercizio (che poi altro non è che il calcolo della derivata distribuzionale del gradino unitario) si spiega da solo... Quello che si sta facendo è usare la definizione di derivata distribuzionale, il fatto (noto da Analisi I) che l'integrale di $\phi^\prime$ coincide con $\phi$ e che $\phi$ è nulla all'infinito (perché ha supporto compatto).
Ok grazie ho capito, ma perchè salta fuori quel meno?
Quel segno segue dall'integrazione per parti:
\[
\langle f',\phi\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x)\phi(x)dx = f(x)\phi(x)\bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\phi'(x)dx = -\langle f,\phi'\rangle.
\]
dato che \(\phi(x)\to 0\) per \(\lvert x\rvert \to +\infty\), chiaramente assumendo che \(\phi\) abbia o supporto compatto o tenda a zero "abbastanza velocemente", e.g. appartenga allo spazio di Schwartz, e \(f\) sia una distribuzione su tale spazio, come è il tuo caso.
\[
\langle f',\phi\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x)\phi(x)dx = f(x)\phi(x)\bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\phi'(x)dx = -\langle f,\phi'\rangle.
\]
dato che \(\phi(x)\to 0\) per \(\lvert x\rvert \to +\infty\), chiaramente assumendo che \(\phi\) abbia o supporto compatto o tenda a zero "abbastanza velocemente", e.g. appartenga allo spazio di Schwartz, e \(f\) sia una distribuzione su tale spazio, come è il tuo caso.
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