Analisi

[assoluti]

Scusate se rompo sempre =) ma sono proprio mezzo incapace
l'esercizio è il seguente:
Dimostrare che per ogni x ed y appartenenti all'intervallo [0,1] si ha:
|xe^(-x) - ye^(-y)| <= 2|x-y|

Anche qui non so che pesci pigliare (
Grazie infinite, anche per le risposte precedenti!!
Ivano

[Sk_Anonymous]

Avrei pensato a questo procedimento(che evita
sviluppi in serie e similari).
Ricordiamo che siamo in [0,1] e dunque x e y sono
non negativi e non maggiori di 1.
Supponiamo ora x>=y e quindi anche:
xe^x>=ye^y da cui dividendo ambo i membri per e^x*e^y:
xe^(-y)>=ye^(-x) od anche: xe^(-y)-ye^(-x)>=0.
Ne segue:
|xe^(-x)-ye^(-y)|<=|xe^(-x)-ye^(-y)+xe^(-y)-ye^(-x)|
e raccogliendo a fattor comune a secondo membro:
|xe^(-x)-ye^(-y)|<=|(x-y)(e^(-x)+e^(-y))|.
ora nell'intervallo [0,1] e' sicuramente e^(-x)+e^(-y)<=2
perche' sia e^(-x) che e^(-y) sono non maggiori di 1.
Concludendo: |xe^(-x)-ye^(-y)|<=2|x-y|.
Se poi fosse x<=y ,scambiando x con y,si avrebbe analogamente:
|ye^(-y)-xe^(-x)|<=2|y-x| che ,per la presenza dei moduli, si puo'
scrivere anche cosi':|xe^(-x)-ye^(-y)|<=2|x-y|.
In ogni caso la diseguaglianza e' dimostrata.
karl.