[ANALISI 2] Massimi e minimi vincolati con parametrizzazione circonferenza equazioni goniometriche

[m45511]

Trovare max e min di:
$f(x,y)=xy log(1+x^2+y^2)$ sul dominio $x^2+y^2<=1$

Per i punti stazionari interni (dove si annulla il gradiente) ho trovato la soluzione $(0,0)$
Per trattare il bordo ho provato con Lagrange e ma l'esercizio diventa molto lungo.
Ho pensato allora di parametrizzare la circonferenza:
$(cos t , sen t)$ con $t€[0,2pi]$

restringo la funzione alla parametrizzazione:
$f(t)=costsentlog(2)$ che equivale a: $f(t)= 1/2 sin(2t) log(2) $
Studio la derivata del primo ordine, poi uguagliandola a 0 trovo i punti critici:

$f'(t)=cos(2t) log(2) $
$cos(2t)=0$
le soluzioni sono
$t=pi/2 +k pi $
Adesso devo verificare il segno della derivata seconda:
$f''(t)=-2sin(2t)$
In questo passaggio non riesco a capire come effettuare la sostituzione $t=pi/2 +k pi $ per studiare il segno della derivata seconda.
non riesco a capire come "incastrare" i massimi e minimi con la periodicità del coseno.
Grazie per l'aiuto

[m45511]

"TeM":Dunque, data la funzione \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) definita da \[ f(x,\,y) := \log\left(1+x^2+y^2\right) \] siamo interessati allo studio dei propri estremi vincolati al dominio \[ D := \left\{ (x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \le 1 \right\} \: . \] Dal momento che \[ \nabla f(x,\,y) = (0,\,0) \; \; \Leftrightarrow \; \; \begin{cases} \frac{2\,x}{1 + x^2 + y^2} = 0 \\ \frac{2\,y}{1 + x^2 + y^2} = 0 \end{cases} \; \; \Leftrightarrow \; \; (x,\,y) = (0,\,0) \] ne consegue che \(f\) presenta un unico punto critico appartenente all'interno di \(D\), ossia \((0,\,0)\).

Per quanto concerne il bordo di \(D\), essendo facilmente parametrizzabile come \[ (x,\,y) := \mathbf{r}(\theta) = \left(\cos\theta,\,\cos\theta\right)\,, \; \; \; \text{per} \; \theta \in [0,\,2\pi) \,, \] definendo \[ g(\theta) := f(\mathbf{r}(\theta)) = \log(2) \] segue che \[ g'(\theta) = 0 \; \; \forall\, \theta \in [0,\,2\pi)\] e quindi tutti i punti del bordo di \(D\) sono critici per \(f\).

In conclusione, dato che \(f\) è una funzione continua in \(D\), insieme chiuso e limitato, per il teorema di
Weierstrass ivi presenta certamente minimo e massimo assoluti individuabili banalmente per confronto: \[ \underset{D}{\min} f\left( 0,\,0 \right) = 0\,, \; \; \; \underset{D}{\max} f\left( \cos\theta,\,\cos\theta \right) = \log(2)\,, \; \forall\,\theta \in [0,\,2\pi) \; . \] Spero sia sufficientemente chiaro.

ti chiedo scusa ma c'era un refuso nel testo.
La funzione in questione era

$ f(x,y)=xylog(1+x^2+y^2) $

[m45511]

up

[m45511]

ti ringrazio per il tuo aiuto, sei stao molto chiaro!
Non ero a conoscenza del punto 3.5
Grazie per l'attenzione!