[ANALISI 1] serie di taylor
Ragazzi all'esame di analisi 1 mi è uscita una domanda che diceva:
Serie di taylor (sviluppo dell'argomento con dimostrazione)
ma senza che il professore ci desse nessun argomento né niente... secondo voi cosa si dovrebbe rispondere ad una domanda del genere??? D=
Ho consultato gli appunti del professore stesso e sono 6 pagine strapiene di formule e dimostrazioni.... e quindi io sono rimasto a bocca aperta... secondo voi come va svolta???
Serie di taylor (sviluppo dell'argomento con dimostrazione)
ma senza che il professore ci desse nessun argomento né niente... secondo voi cosa si dovrebbe rispondere ad una domanda del genere??? D=
Ho consultato gli appunti del professore stesso e sono 6 pagine strapiene di formule e dimostrazioni.... e quindi io sono rimasto a bocca aperta... secondo voi come va svolta???
Risposte
Salve Max, vengo dalla sezione delle presentazioni dove ti ho appena salutato. 
Premetto che il termine "serie di Taylor" è concettualmente differente dal termine "formula di Taylor".
La formula di Taylor si vede in analisi I e non è altro che quella formula che "consente di approssimare in un intorno di un punto $x_0$ una funzione $f$ di classe $C^n$ in quell'intorno per mezzo di un polinomio di grado $n$". La serie di Taylor, invece, è l'espansione della funzione tramite una serie infinita in un intorno di un punto $x_0$.
Ci tengo a dirlo solo perché qui - ma non solo - dicendo serie di Taylor in luogo di formula/polinomio di Taylor (e viceversa) c'è chi mi ha tirato le orecchie.
Comunque, se capitasse a me una domanda del genere - contando che comunque non si può scrivere un poema - avrei detto qualcosa del genere.
La serie di Taylor (di centro $x_0$) riferita ad una funzione $f$ a valori reali di classe $C^\infty$ in un intervallo aperto di $\RR$ non è altro che la serie di potenze
$\sum_(n=0)^\infty \frac{f^((n))(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$.
Essa è la rappresentazione della funzione come una somma infinita di termini calcolata in base alle derivate della funzione stessa calcolate nel punto preso come centro dello sviluppo.
Poi avrei certamente ricamato un po' sull'importanza del rappresentare una qualsiasi funzione con un polinomio (per es. facilità di calcolo) e magari avrei citato qualche definizione e qualche risultato che oramai non ricordo più!
Se invece intendessi la formula - o il teorema - di Taylor, l'avrei comunque impostato allo stesso modo ma poi avrei citati i vari resti nella risposta. Se poi siamo in tema "advanced users", mi sarei dilungato con la tabulazione delle funzioni.
Premetto che il termine "serie di Taylor" è concettualmente differente dal termine "formula di Taylor".
La formula di Taylor si vede in analisi I e non è altro che quella formula che "consente di approssimare in un intorno di un punto $x_0$ una funzione $f$ di classe $C^n$ in quell'intorno per mezzo di un polinomio di grado $n$". La serie di Taylor, invece, è l'espansione della funzione tramite una serie infinita in un intorno di un punto $x_0$.
Ci tengo a dirlo solo perché qui - ma non solo - dicendo serie di Taylor in luogo di formula/polinomio di Taylor (e viceversa) c'è chi mi ha tirato le orecchie.
Comunque, se capitasse a me una domanda del genere - contando che comunque non si può scrivere un poema - avrei detto qualcosa del genere.
La serie di Taylor (di centro $x_0$) riferita ad una funzione $f$ a valori reali di classe $C^\infty$ in un intervallo aperto di $\RR$ non è altro che la serie di potenze
$\sum_(n=0)^\infty \frac{f^((n))(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$.
Essa è la rappresentazione della funzione come una somma infinita di termini calcolata in base alle derivate della funzione stessa calcolate nel punto preso come centro dello sviluppo.
Poi avrei certamente ricamato un po' sull'importanza del rappresentare una qualsiasi funzione con un polinomio (per es. facilità di calcolo) e magari avrei citato qualche definizione e qualche risultato che oramai non ricordo più!
Se invece intendessi la formula - o il teorema - di Taylor, l'avrei comunque impostato allo stesso modo ma poi avrei citati i vari resti nella risposta. Se poi siamo in tema "advanced users", mi sarei dilungato con la tabulazione delle funzioni.
Ti ringrazio, specifico subito che era riferito proprio alla serie di taylor, e non alla formula. Ho voluto fare questa domanda perché in primis all'esame non ho saputo rispondere e per di più quando sono andato al ricevimento del professore per vedere questa domanda, lui mi ha detto che la mia domanda (che in realtà è la sua ma non se la ricorda) era troppo vaga e che non si poteva rispondere così su due piedi... perciò sono rimasto a bocca aperta e ho voluto un aiutino da voi visto che domani devo rifare l'esame e la probabilità che mi riesca di nuovo questa domanda ci sta!!!
Comunque grazie dell'aiuto ^__^
Comunque grazie dell'aiuto ^__^
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