[ANALISI 1] Limite con sviluppo di Taylor

[*martiki*1]

Ciao a tutti,
in questi giorni ho dovuto aiutare un'amica a risolvere dei limiti con gli sviluppi di Taylor ed essendo un po' di anni che non ne faccio non mi ricordo più alcune sottigliezze. Ora, il limite da risolvere è questo qui:

$ lim_(x -> 0^_) (cos^2(3x^2+2x)-cosh^2(3x^2+2x))/([cos^2(3x^2+2x)+cosh^2(3x^2+2x)]^3*(3x-tan(3x))^(2/3) $

La prima domanda è: ai fini pratici, cosa cambia se $ x->0 $ o $ 0^- $ ?
La seconda riguarda lo sviluppo del denominatore: essendoci una somma di coseni al quadrato, il professore ha direttamente sostituito x=0 nella somma concludendo che, almeno la prima parte del denominatore tende a $ 2^3 $. Ora, perché non è stato necessario sviluppare quella somma con Taylor, ma invece si può brutalmente sostituire? Se invece di una somma di coseni al quadrato ci fosse stata una somma di seni al quadrato si sarebbe dovuto procedere allo stesso modo?
Quando si può "sostituire brutalmente" senza procedere con Taylor?

Grazie!

[billyballo2123]

"*martiki*":
La prima domanda è: ai fini pratici, cosa cambia se $x\to 0$ o $0^-$?

Se il limite esiste non cambia niente, perché il tal caso il limite destro e il limite sinistro coincidono. Se invece il limite non esiste, potrebbe essere che il limite sinistro (e dunque per $x\to 0^-$) esista mentre per $x\to 0$ no.

"*martiki*":
La seconda riguarda lo sviluppo del denominatore: essendoci una somma di coseni al quadrato, il professore ha direttamente sostituito $x=0$ nella somma concludendo che, almeno la prima parte del denominatore tende a $2^3$. Ora, perché non è stato necessario sviluppare quella somma con Taylor, ma invece si può brutalmente sostituire?

Perché sostituendo brutalmente viene $2^3$, dunque non si crea nessuna forma di indecisione.

"*martiki*":
Se invece di una somma di coseni al quadrato ci fosse stata una somma di seni al quadrato si sarebbe dovuto procedere allo stesso modo?

No perché il seno tende a $0$ quando $x\to 0^-$, dunque avresti avuto una forma di indecisione $[0/0]$.

[*martiki*1]

"billyballo2123":[quote="*martiki*"]
La prima domanda è: ai fini pratici, cosa cambia se $ x\to 0 $ o $ 0^- $?

Se il limite esiste non cambia niente, perché il tal caso il limite destro e il limite sinistro coincidono. Se invece il limite non esiste, potrebbe essere che il limite sinistro (e dunque per $ x\to 0^- $) esista mentre per $ x\to 0 $ no.
[/quote]

Quindi se mi viene sottoposto un limite del genere, per verificarne l'esistenza, dovrei risolvere anche il limite per $ x -> 0+ $ e poi confrontare i risultati?

Inoltre mi è sorto un altro dubbio: se al numeratore ci fosse stato : $ cos(3x^2+2)-cosh(3x^2+2) $ , avessi direttamente sostituito x=0 avrei ottenuto $ cos(2) - cosh(2) $ che è diverso da 0. E' quindi lecita questa sostituzione, giusto? Oppure dato che gli sviluppi di prim'ordine non nulli si annullano (1-1=0) avrei comunque dovuto procedere con Taylor?

[billyballo2123]

"*martiki*":
Quindi se mi viene sottoposto un limite del genere, per verificarne l'esistenza, dovrei risolvere anche il limite per $ x -> 0+ $ e poi confrontare i risultati?

Risolvi il limite con $0$ (né $0^+$ né $0^-$), e se non trovi problemi non c'è bisogno di fare i due casi. Se invece fosse $\lim_{x\to 0}1/x$, allora dovresti fare i due casi perché i limiti destro e sinistro sono diversi.

"billyballo2123":
Inoltre mi è sorto un altro dubbio: se al numeratore ci fosse stato : cos(3x2+2)−cosh(3x2+2) , avessi direttamente sostituito x=0 avrei ottenuto cos(2)−cosh(2) che è diverso da 0. E' quindi lecita questa sostituzione, giusto? Oppure dato che gli sviluppi di prim'ordine non nulli si annullano (1-1=0) avrei comunque dovuto procedere con Taylor?

In questo caso avresti potuto sostituire "brutalmente" $x=0$.

[*martiki*1]

Grazie mille!