Altro limite semplice...

[dave031]

non vorrei abusare della vostra disponibilità ma vi assicuro che quando faccio uso del forum significa che ho esaurito proprio tutte le risorse di cui dispongo (purtroppo non sono molte )

dovrei calcolare il segunte limite:

$lim x(x+sqrt(x^2-1))$
$x->-∞ $

ma mi perdo e non capisco il perchè....so che il risultato è 1/2 ma a me esce sempre +∞ :(
fatemi capire dove sbaglio per favore....

grazie ancora della vostra ENORME disponibilità...

[_luca.barletta]

Raccogli x^2 dentro la radice, attenzione a quando porti fuori dalla radice x^2...

[fu^2]

$lim_(xto-oo)x(x+sqrt(x^2-1))$
$lim_(xto-oo)x(x^2-(x^2-1))/(x-sqrt(x^2-1))$
$lim_(xto-oo)x/(x-(-x)sqrt(1-1/x))$
$lim_(xto-oo)x/(x(1+sqrt(1-1/x))

quindi quanto $xto-oo$ questa funzione si comporta come $x/(2x)=1/2$

[jack110]

basta razionalizzare moltiplicando il tutto per $x-sqrt(x^2-1)$; avrai:
$lim_(xto-oo)x/(x-sqrt(x^2-1))$ adesso poichè il secondo addendo del denominatore è asintotico al primo a $-oo$, puoi scrivere direttamente che il limite equivale a $lim_(xto-oo)x/(2x)=1/2$

ciao

[jack110]

una valanga di risposte! :-D:-D

ciao

[carlo232]

"dave03":non vorrei abusare della vostra disponibilità ma vi assicuro che quando faccio uso del forum significa che ho esaurito proprio tutte le risorse di cui dispongo (purtroppo non sono molte )

dovrei calcolare il segunte limite:

$lim x(x+sqrt(x^2-1))$
$x->-∞ $

ma mi perdo e non capisco il perchè....so che il risultato è 1/2 ma a me esce sempre +∞ :(
fatemi capire dove sbaglio per favore....

grazie ancora della vostra ENORME disponibilità...

$lim_(x rightarrow -infty) x(x+sqrt(x^2-1))=lim_(x rightarrow -infty) x^2+x sqrt(x^2-1)=lim_(x rightarrow +infty) (-x)^2-x sqrt(x^2-1)=lim_(x rightarrow +infty) x^2-x sqrt(x^2-1)$

ora $sqrt(x^2-1)=x sqrt(1-1/(x^2))=x (1-1/(2x^2)-1/(4x^4)-...)$ per cui

$lim_(x rightarrow +infty) x^2-x sqrt(x^2-1)=lim_(x rightarrow +infty) x^2-x^2+1/2+1/(4x^2)+...=1/2$

[dave031]

wow...siete più veloci di Derive a dare le rispote!
vi ringrazio ancora, ora ci do un occhio e vi faccio sapere se la mia testa bacata le ha capite!