Altro esercizio su equazione differenziale

[bomhamsik]

l'equazione è questa $ y'=y/(x+3)-x^(2)+2x-3 $ e si cerca l'integrale generale..
io la vedo come una equazione lineare di primo ordine non omogenea quindi proseguo con la solita formuletta e mi ritrovo con risultato $ y(x)=(x+3)*(-x^(2)/2+5*x-18log(x+3)) $
che ne dite?

[dissonance]

E quello sarebbe un integrale generale? Dovrebbe dipendere da una costante, ma io non ne vedo. Poi guarda, è molto semplice controllare se una funzione è soluzione di una certa equazione differenziale. Basta fare la derivata. Fai la derivata $y'(x)$ (se ti scoccia farla a mano, aiutati con Wolfram Alpha), poi calcola $\frac{y(x)}{x+3}-x^2+2x-3$ e controlla se sono uguali.

[bomhamsik]

il problema è proprio che non mi trovo...ma applicando la regoletta ho fatto tutto come si dovrebbe....quindi volevo capì magari se era sbagliato e nel caso dove avevo sbagliato

[Mathcrazy]

"bomhamsik":il problema è proprio che non mi trovo...ma applicando la regoletta ho fatto tutto come si dovrebbe....quindi volevo capì magari se era sbagliato e nel caso dove avevo sbagliato

Lascia perdere le regolette !!
Proviamo a ragionare,facendo un'analisi completa dell'esercizio.
Prima di tutto ti dico che il risultato che hai scritto è una sola soluzione dell'equazione, con $C=0$.

Vediamo ora come si arriva a quella formuletta,parto dal tuo esercizio, sperando possa esserti d'aiuto.

Premetto che per trovare l'integrale generale di un'equazione differenziale completa, basta trovare l'integrale generale dell'omogenea associata e poi una soluzione particolare della completa, fatto questo potremo dire:

integrale generale della completa = integrale generale dell'omogenea + soluzione particolare della completa
(Si dimostra ovviamente!)

$ y'=y/(x+3)-x^(2)+2x-3 hArr$

$y'- y/(x+3) = -x^(2)+2x-3$ (*)

Per prima cosa va risolta l'omogenea associata:

$y'- y/(x+3) = 0 hArr$

E' una semplice equazione differenziale a variabili separabili.

$y'= y/(x+3) hArr$

$(y')/y=1/(x+3)$

con $y!=0$; ( $y=0$ è una soluzione costante dell'omogenea associata; verificheremo successivamente se è una soluzione particolare (cioè rientra nell'integrale generale dell'omogenea) oppure una soluzione singolare (se non rientra nell'integrale generale dell'omogenea) )

Sappiamo che $y' = (dy)/(dx)$, quindi otteniamo:

$(dy)/((dx)*y) = 1/(x+3) hArr (dy)/y = (dx)/(x+3) $

Integriamo entrambi i membri:

$int ((dy)/y) = int ((dx)/(x+3)) hArr$

$ln |y| = ln|x+3| + C$ $hArr$ $|y| = e^(ln|x+3| + C)$ $hArr$ $|y| = e^(ln|x+3|) * e^C$

cioè:

$y= +-e^C * |x+3|$

Chiamiamo $C={ ( +-e^C ),( 0 ):} $

Sostituiamo:

$y= C* (x+3)$

Questo è l'integrale generale dell'omogenea associata; [osserviamo che per $C=0$, riotteniamo la soluzione costante $y=0$ che è, pertanto, una soluzione particolare dell'omogenea].
________

Abbiamo trovato una soluzione generale dell'omogenea!
Passiamo a trovare una soluzione particolare dell'equazione completa che sarà del tipo (si dimostra):

$bar (y) (x)= \gamma(x) * (x+3)$

Calcoliamo la derivata:

$(bar (y) (x))'= \gamma'(x) * (x+3) + \gamma(x)$

Sostituiamo nell'equazione iniziale (*):

$ \gamma'(x) * (x+3) + \gamma(x) - (\gamma(x)*(x+3))/(x+3) = -x^2 + 2x -3$ $hArr$

Ricaviamo $(bar (y) (x))' = (-x^2+2x-3)/(x+3)$ $hArr$

$\gamma (x)= int (-x^2+2x-3)/(x+3)$

Risolvendo l'integrale otteniamo il risultato a cui tu eri giunto:

$(-x^2/2+5x-18*ln|x+3|)$

Quindi la nostra soluzione particolare, si ottiene sostituendo quanto trovato in :

$bar (y) (x)= \gamma(x) * (x+3)$ cioè:

$(-x^2/2+5x-18*ln|x+3|)*(x+3)$

Questa è la soluzione particolare della completa.

Ricordo ancora che:

integrale generale della completa = integrale generale dell'omogenea + soluzione particolare della completa

Quindi:

$y(x)= C* (x+3) + (-x^2/2+5x-18*ln|x+3|)*(x+3) = (x+3)*(-x^2/2+5x-18*ln|x+3|+C)$..

Questa è la soluzione.
Non riuscirai a capire lo svolgimento se non studierai bene la teoria.
Se non l'hai studiata per bene, ti consiglio vivamente di farlo: quando l'avrai fatto torna a leggere questa soluzione e ti sarà tutto più chiaro!! (spero ).
Se,invece, il vostro docente, si è solo limitato a presentarvi la formula,allora usa quella,in ogni caso dovrebbe funzionare !!!; però attento a mettere la costante arbitraria $C$ per avere tutte le soluzioni al variare di essa.

[bomhamsik]

grazie mille mathcrazy sei stato gentilissimo e utilissimo come sempre purtroppo il libro che mi è stato consigliato dalla prof(non seguo un corso devo fare l'esame da fuori corso by my self) dedica poche pagine a questo argomento ed inoltre non utilizza la tua stessa terminologia...quindi mi sà che dovrò approfondire altrove... anche se il risultato alla fine era quello guarderò con attenzione il tuo svolgimento...graçias!